数学です。

長いですが、宜しくお願いします。
AB=8、CA=CB、面積が12である三角形ABCがある。
点Dを角ADB=２分の1角ACBとなるように直線ABに関して点Cと同じ側にとる。
点DはCを中心とする半径アの円周上にあり、角DAB=60度とすると、BD=イ√ウ、AD=エ+オ√カとなる。また三角形ABDの面積はキク+ケ√コである。
さらに三角形ABCの内接円の中心をI、直線AIと三角形ABDの外接円のうちAでない方をEとすると、
IH=サ分のシ、IE=ス分のセ√ソタ。
アからタにはいる答えを過程も一緒に教えて下さい、。

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/12/25 11:16

図を正確に描きながら考えてください。

まず、半径5の円を描きます。円周上にAB=8となる点A,Bを取ります。円周上に∠BAD=60°となる点Dを取り、AD,DBを結びます。これが正確なsituationになっていることを確認してください。

準備
円の中心をC、∠ACBの2等分線がABと交わる点MはABの中点でもあり、
AM=MB=4,∠CMA=∠CMB=90°です。
面積⊿ACB=(1/2)AB*CM=12,AB=8よりCM=3,AC=√(3^2+4^2)=5
∠ACM＝∠BCM=∠ADB＝αとすると
sinα=4/5, cosα=3/5

問題を以下に解きます。
ア＝5
三角形に関する正弦定理より
BD/sin60=AB/sinα ⇒　BD=8*(√3/2)/(4/5)=5√3 (イ、ウ）
∠DBA=180-(60+α)=120-α
AD/sin(120-α)=BD/sin60 ⇒　AD=5√3sin(120-α)/(√3/2)=10sin(120-α)
sin(120-α)=sin120cosα-cos120sinα=(√3/2)(3/5)+(1/2)(4/5)=(3√3+4)/10
(加法定理使用)
AD=10sin(120-α)=3√3+4 (エ、オ、カ）
面積⊿ADB＝(1/2)AD*BDsinα=(1/2)(3√3+4)(5√3)(4/5)=8√3+18 (キ、ク、ケ、コ）

⊿ACBの内接円を正確に描いてください。内接円の中心Iは各角の二等分線の交点です。AIの延長線と円Cの交点をEとしBEを結びます。

⊿ACBの内接円の中心I,半径をrをとすると面積⊿ACB＝(AB+BC+CA)*r/2=12 ⇒　r=4/3
Hの定義がないがH=Mと考えておく。要するにIH=IM=ｒ＝4/3　　（サ、シ）

⊿AEBに注目します。
∠AEB＝α、∠EAB=(1/2)∠CAB=(1/2)(90-α)=45-α/2
∠EBA=180-(α+45-α/2)=135-α/2
AE/sin(135-α/2)=AB/sinα
⇒　AE=8sin(135-α/2)/(4/5)=10sin(135-α/2)=10[sin135cos(α/2)-cos135sin(α/2)]
=10[sin135cos(α/2)-cos135sin(α/2)]=10[(√2/2)cos(α/2)+(√2/2)sin(α/2)]
=5√2[cos(α/2)+sin(α/2)]
cosα=3/5=2cos^2(α/2)-1 ⇒　cos^2(α/2)=4/5 ⇒　cos(α/2)=2√5/5
sin(α/2)=√[1-(2√5/5)^2]=√5/5

AE=5√2[cos(α/2)+sin(α/2)]=3√10
AI=√[IM^2+AM^2]=√[(4/3)^2+4^2]=4√10/3
IE=AE-AI=3√10-4√10/3=5√10/3 (ス、セ、ソ、タ）

この回答へのお礼

本当ありがとうございます！！
助かりました*\(^o^)/*

お礼日時：2015/12/25 17:19