∫dx/((x-2)√(-(x^2)+2x+3))
を求めよという問題なのですが、

∫dx/((x-2)√(-((x-2)^2)-2x+7))
と変形し、x-2=tとおいて、
∫dt/(t√(-(t^2)-2t+3))
となるから
∫dt/(t√-(t+1)^2+4)
と変形し、t+1=sとおいて、
∫ds/((s-1)√(4-s^2))となる

ここから進めません・・・
やり方が間違っているのでしょうか?
どなたかわかる方、教えてください。

質問者からの補足コメント

  • (arcsinx)'=1/(√(1-x^2))の関係を使うことは分かったのですが、(s-1)が引っかかって上手くできません。。。
    良い方法はありますか?

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2016/02/13 11:57
  • つらい・・・

    部分分数分解で係数比較など試していましたが、それでもうまくできません・・・

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2016/02/13 14:11
  • はい、(s-1)√(1-(s/2)^2)を両辺に掛けて係数比較したいのですが、√が出てきて係数比較ができません。。。

    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2016/02/13 14:39
  • 何度もすみません。。。

    ∫ds/((s-1)√(4-s^2))=∫ds/2((s-1)√(1-(s/2)^2))
    s/2=sinθとおく
    ∫dθ/(2sinθ-1)
    となりました。
    2sinθ-1=yとおくと
    dθ=1/(2cosθ)
    となりました。

    ここからcosθ=√(1-(sinθ)^2) などを試したりしましたが、うまくいきません・・・

    No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2016/02/13 15:15

A 回答 (5件)

再考


∫ds/((s-1)√(4-s^2))=∫ds/2((s-1)√(1-(s/2)^2))
s/2=sinθとおく
ds=2cosθdθ
∫2cosθdθ/(sinθ-1)cosθ
∫2dθ/(sinθ-1)

tan(y/2)=θとおく
sinθ=2y/(1-y^2)
dθ=2dy/(1+y^2)

∫4dy/(1+y^2)(2y/(1-y^2)-1)
=∫4(1-y^2)dy/(1+y^2)(y^2+2y-1)

ここで部分分数分解かな。
(y^2+2y-1)=(y-(-2+2√2)/2)((y-(-2-2√2)/2))
に注意
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この回答へのお礼

tan(x/2)の置換を使うのですね!
なんとか解けました、本当にありがとうございます!

お礼日時:2016/02/14 11:35

∫ds/((s-1)√(4-s^2))=∫ds/2((s-1)√(1-(s/2)^2))


s/2=sinθとおく
∫dθ/(sinθ-1)

sinθ-1=yとおく
∫dy/y(√(1-y^2))=-√(1-y^2)

あとは変数戻して!
この回答への補足あり
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A/(s-1)+B/√(1-(s/2))+C/√(1+(s-2))


ってちゃんと分解した?
この回答への補足あり
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部分分数分解!

この回答への補足あり
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アークサインやアークコサインの微分を思い出して。


∫ds/((s-1)√(4-s^2))=∫ds/2((s-1)√(1-(s/2)^2))
この回答への補足あり
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