不定積分の問題です

∫dx/((x-2)√(-(x^2)+2x+3))
を求めよという問題なのですが、

∫dx/((x-2)√(-((x-2)^2)-2x+7))
と変形し、x-2=tとおいて、
∫dt/(t√(-(t^2)-2t+3))
となるから
∫dt/(t√-(t+1)^2+4)
と変形し、t+1=sとおいて、
∫ds/((s-1)√(4-s^2))となる

ここから進めません・・・
やり方が間違っているのでしょうか？
どなたかわかる方、教えてください。

質問者からの補足コメント

• (arcsinx)'=1/(√(1-x^2))の関係を使うことは分かったのですが、(s-1)が引っかかって上手くできません。。。
  良い方法はありますか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/02/13 11:57

• 

  部分分数分解で係数比較など試していましたが、それでもうまくできません・・・

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/02/13 14:11

• はい、(s-1)√(1-(s/2)^2)を両辺に掛けて係数比較したいのですが、√が出てきて係数比較ができません。。。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/02/13 14:39

• 何度もすみません。。。
  
  ∫ds/((s-1)√(4-s^2))=∫ds/2((s-1)√(1-(s/2)^2))
  s/2=sinθとおく
  ∫dθ/(2sinθ-1)
  となりました。
  2sinθ-1=yとおくと
  dθ=1/(2cosθ)
  となりました。
  
  ここからcosθ=√(1-(sinθ)^2)　などを試したりしましたが、うまくいきません・・・

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/02/13 15:15

No.4 ベストアンサー 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/02/13 14:44

∫ds/((s-1)√(4-s^2))=∫ds/2((s-1)√(1-(s/2)^2))

s/2=sinθとおく
∫dθ/(sinθ-1)

sinθ-1=yとおく
∫dy/y(√(1-y^2))=-√(1-y^2)

あとは変数戻して！

No.5 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/02/14 03:51

再考

∫ds/((s-1)√(4-s^2))=∫ds/2((s-1)√(1-(s/2)^2))
s/2=sinθとおく
ds=2cosθdθ
∫2cosθdθ/(sinθ-1)cosθ
∫2dθ/(sinθ-1)

tan(y/2)=θとおく
sinθ=2y/(1-y^2)
dθ=2dy/(1+y^2)

∫4dy/(1+y^2)(2y/(1-y^2)-1)
=∫4(1-y^2)dy/(1+y^2)(y^2+2y-1)

ここで部分分数分解かな。
(y^2+2y-1)=(y-(-2+2√2)/2)((y-(-2-2√2)/2))
に注意

この回答へのお礼

tan(x/2)の置換を使うのですね！
なんとか解けました、本当にありがとうございます！

お礼日時：2016/02/14 11:35

No.3 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/02/13 14:21

A/(s-1)+B/√(1-(s/2))+C/√(1+(s-2))

ってちゃんと分解した？

No.2 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/02/13 13:54

部分分数分解！

No.1 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/02/13 08:19

アークサインやアークコサインの微分を思い出して。

∫ds/((s-1)√(4-s^2))=∫ds/2((s-1)√(1-(s/2)^2))