異なる次元の物理量を掛けたり割ったりしても良い理由を教えて下さい

Question

例えば、棚の本の冊数と自分の体重を足したり引いたりしても意味が無く、
何も出てこないのは分かります。

しかし、掛けたり割ったりすることは出来るのは何故でしょうか？
要するに、異なる次元の物理量の乗算や除算は可能なのは何故でしょうか？

宜しくお願い致します。

moto_koukousei · Accepted Answer

国土面積を人口で割る、人口を国土面積で割る、移動距離を移動時間で割る、底面積に直方体の高さを掛ける、電気抵抗に通電電流を乗じる、などはしばしば行われる計算です。
しかし、北海道の面積をメキシコの人口で割る、インドの人口をシリアの面積で割る、東北自動車道の総延長をパリ・ベルリンの移動時間で割る、円柱の底面積にその円柱がある建物の高さを掛ける、地面の二点間の電気抵抗に掛け時計に流れる電流を乗じるなどの計算は、まずしません。
前者は、ある事物や状況、現象や変化などを示す指標を得ようとしているのですが、後者は何かの指標を得られるとは思われていないからです。
次元の同じもの、十円玉の直径と五百円玉の直径を乗したりしないのも、ノートの重量を教科書の重量で割ったりしないのも、何かの指標を得られるとは思われていないからです。　しかし、Ａの体重をBの体重で割ったり、Ｄの体重をDの身長で割ったりはします。それで、何かの指標を得られるとは思われているからです。
速度と移動している物体の重量を乗じるのは、(速度と質量の乗算で運動量をだす)ということで、エネルギーの指標が作れると考えられ、そうした指標が有効に使えることが多いからです。(速度と質量の乗算で運動量をだす)というだけで、移動する別々の物体の速度と質量の乗算で運動量を計算したつもりになってはいけません。

国会図書館の本の冊数と自分の体重を割ったり、乗じても、何か有効な指標が得られるのでなければ、そのような計算はしません。もしも、同級生の持っている本の冊数をその所有者の体重で割って、その答えを体重との相関を調べたら、何かの傾向が出てきたら、それを何かの指標として提示してもおもしろいでしょう。体重を年齢で割って年齢別の相関を見ることがないわけではないです。

足し算や引き算は、そうした新しい指標を作るという機能では制約があります。　距離や時間でも、km＋cm、hour＋dayでは、どうにもならないので、単位を合わせます。　単位が合えば、ミカンの個数＋リンゴの個数、猫の頭数ーイヌの頭数という計算は、小学生でも大人でもします。　単位が一致しても、足し算、引き算で指標を作るのは、その結果が別の概念、指標になると思われています。（県下の小学校の男児の合計数-同じ県下の小学校の女児の合計数）（県下の小学校の男児の合計数＋同じ県下の小学校の女児の合計数）は、計算します。これが、小学校の男子と高校の女子だと、あまり計算はしないです。やっても意味ある指標がでないと思われるからです。　次元がことなった足し算や引き算は、同一生徒の(身長-体重)のような指標を得て、並べて見ると、何かが出るという思考のようなものがなければやりません。　降雨量とその地域での農産物の収穫量なら、割り算でなくても、何かの関数で新しい指標が出来るという考えがあれば、係数＆四則演算etcは色々検討されます。
アメデオ・アヴォガドロという研究者は、一見関係がなさそうなものを調べて、新しい発見をしています。アボガドロ数だけでなく、物理のこうした係数は、次元の異なるものを割ったりして出したものが多いです。
物理化学だけでなく、経済社会の現象でも、似たようなことをしばしばします。

doc_somday · Answer

#１です。もの凄く簡単かつ明快な答えを見付けました。
「割るのは微分で、掛けるのは積分だから」
以上。

uen_sap · Answer

何を言っているのかさっぱりわからん。
異なる次元？
棚の本と自分の体重が異なる次元と言うなら、掛けてもわっても意味はないです。
距離÷時間＝速度ですが、距離と時間が異なる次元と言うなら、それを次元とは言わない。
距離÷時間は単位時間当たりの距離・・・これは意味あり。
むしろ意味ある方が圧倒的に多い。

spring135 · Answer

>異なる次元の物理量の乗算や除算は可能なのは何故でしょうか？

異なる次元の物理量を作る必要があるからです。広さを表現するには長さだけでは不可能です。

体積が同じで重さの異なるもの（例えば水1000mlと縦横高さがいずれも10cmの鉄）を持ち上げるのに必要な力を表現するには密度を掛ける必要があります。

puyo3155 · Answer

それが、（量の）次元の定義だからじゃないですか。端折って言えば、

量の次元とは、ある物理量と、基本となる量の関係を、単位の掛け算や割り算をもって表現することです。

なので、ある物理量に意味があるとき、別のいくつかの物理量を掛けたり割ったりして、その物理量の次元と一致するなら、
その掛け算には、なんらかの意味があることになりますね。

詳しくは、いろんなところに説明があるので参照を。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E3%81%AE%E6%AC%A1%E5%85%83

ngkdddjkk · Answer

単位に意味付けができればそれでいい。

doc_somday · Answer

実に簡単です。それに意味があるという合意があるからです。速度、加速度、圧力、電力、エネルギー、薬効、……。
誰も無意味な加減乗除はしません。
なお多くの場合割るのは問題が無く、掛けるのは危険です。例えば重さを面積で割るのは問題ありませんが、それを乗じたら不思議なものができるでしょう。

異なる次元の物理量を掛けたり割ったりしても良い理由を教えて下さい

#１です。

何を言っているのかさっぱりわからん。

国土面積を人口で割る、人口を国土面積で割る、移動距離を移動時間で割る、底面積に直方体の高さを掛ける、電気抵抗に通電電流を乗じる、などはしばしば行われる計算です。

>異なる次元の物理量の乗算や除算は可能なのは何故でしょうか？

それが、（量の）次元の定義だからじゃないですか。

単位に意味付けができればそれでいい。

実に簡単です。

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