角の二等分線について

「角の二等分線」という時、その線分は「その角」の範囲内に限られるでしょうか？それとも延長線（つまり無限に伸びる線分）も含まれるのでしょうか？

例えば角度60度の二等分線を引くとします。角60度の反対側には「300度の角」が存在します。この時、「角60度の二等分線」と「角300度の二等分線」は、同一線上に並ぶわけですが、これらを「同じもの」と見なしてもいいのでしょうか？

自分としては、「60度の二等分線」は、角度60度を二等分する線であって、角度300度を二等分していないので、厳密には異なると考えているのですが（つまり同一線上であるけれども角の頂点を境に二種類の二等分線に分かれる）、これは間違っているでしょうか？ややこしい質問ですが（図示できればいいのですが）、もしお答えいただければ幸いです。

質問者からの補足コメント

• ご質問をいただいた後、いい例を思いつきました。自分が問題としているのは、「三角形の内角」というより、「パイを等分した一部」という状況に近いかもしれません。つまり、パイを4等分した場合、一枚の内角は90度になります（360÷4=90)。このとき、4分の1枚、つまり「内角90度の二等分線」とは、その「外角270度の二等分線」も含むのでしょうか？（ところで内角は180度を超えてはいけないのでしょうか？）パイの例の場合、「内角90度の二等分線」は、物理的に外角の二等分線とつながっていないように見受けるのですが・・・・

    補足日時：2016/04/30 23:17

No.1 ベストアンサー 回答者： unos1201 回答日時： 2016/04/30 07:24

＞角の二等分線

書き方、求め方、意味などを総合的に判断すると、合理的な判断ができそうです。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E7%AD%89 …
＞図2． 角の二等分線もコンパスを使うことで求められる

角の中心点、始点とも終点とも言えそうな部分ですが、そこから半径を一定にして円を描く、次に、その半径より長い同じ距離の円を２つ線分と円周の交点から描くと、等距離の部分で交わる、それを結ぶと角の中心点を通る直線が引けます。どちらの角も２等分にする直線ですので、どちらから見ても同じ書き方、同一のものです。

この直線は鏡を置くと、そこに映る部分、入射角と反射角の関係になります。中心角に当たる部分を中心として、鏡と垂直の面を見ることで、等角になる、角の２等分点になる、文字で書いたので、イメージが正確に伝わるか怪しいのですが、線、面、見る位置により、解釈や現象の捉え方の考え方、見方の視点というか同じ内容をどう解釈するかの連続性が理解できそうです。

書きたいこと、数学は奥が深い、単純に小さい角だけを扱うか、発展部分が同じように扱えるのか、面白いというか醍醐味の部分です。答えではないのですが、どちらとも解釈できる、この場合には同じになる、しかし、いつもそうだとは限りません。例を挙げると、虚数を実数と同じようには扱えない、難しいことですが、慣れるといかに便利かもわかるし、実際に使えるものも多い、机上の空論でなく、実学として使えるものも多いです。

いろいろ考えること、これが大事ですし、これからも勉強して下さい。とても面白いです。

この回答へのお礼

早速のご返答ありがとうございます。何やら数学というより、哲学的な話になってきましたが、実に興味深い見方（視点）だと思います。答えはまだ見つかっていませんが、また考えてみます。

お礼日時：2016/04/30 08:08

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2016/05/02 01:21

No.2です。

補足について。
角の二等分線である直線のうちに、パイを切る部分（線分）と、切らない部分（二つの半直線）がある。それだけのことかと。

この回答へのお礼

再度のご回答ありがとうございます。No.2さんの解釈は、角の二等分線が「直線」であるという前提のもとの解釈だと思われますが、実は知りたいのはそこなのです。「二等分線は、「（無限の長さを持つ）直線」なのでしょうか？確かに「直線」と解釈すると、「パイを切る部分」と「切らない部分」は、単なる「同一直線上の異なる部分」という解釈になりますが、いろいろグーグル等で定義をみても、二等分線が単に線分を指すのか、半直線か、直線か、いまいち明確にはわかりませんでした。ちなみに英語ではbisectorであり、これも直線(sratight line)と同等であるか、はっきりしません。

お礼日時：2016/05/02 08:09

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/05/01 12:14

角度の場合は、「どの部分の角度か」を指定しないと意味がありません。

「補足」の例の場合では。「切って取り出した方のパイの角度」なのか、「切り取った残りのパイの角度」なのかです。それを定義せずには、「二等分する対象」が決まりません。

この回答へのお礼

返事ありがとうございます。「切り出したパイの角度」です。問題は、「切り出したパイの角度（内角）の二等分線」と「残りのパイの角度（外角）の二等分線」を同一とみなすべきかどうかです。

お礼日時：2016/05/02 03:23

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2016/04/30 16:35

角の二等分線は少なくとも「線分」（すなわち、両端が決まっている、有限の長さの線）ではありえません。

ご質問は、「角の二等分線は半直線なのか直線なのか」ということかと。
　さて「60度の二等分線」という表現は数学には出てきません。どこにあるどの角なのかを指定せずに、単に角の大きさ二等分する線だと言ってみても、その線がどこにあるのかが決まらない。つまりこの言い方は意味をなさないのです。
　以上を前置きにしまして、三角形ABCについて「角ABCの二等分線」とは何か。「角ABC」という表現は、三角形の内角とも外角とも、どちらとも言っていません。ですから、「内角と外角をそれぞれ二等分する直線」を指すと考えるのが自然でありましょう。

この回答へのお礼

ご返事ありがとうございます。「内角か、外角か」、ポイントはそこです（しばらく数学から遠ざかっていたので内角・外角という表現があることも忘れていました）。つまり、「角の二等分線」といった場合は「直線」であり、「内角の二等分線」といった場合は「半直線（長さ無限であるけれど、片方の端が決まっている）」と考えられるわけですね。

お礼日時：2016/04/30 22:53