【数学の問題】

三角形ABCは∠ABC≠90°の三角形とし、

その外接円をS1とする。

2点A,Cを通りS1と同じ半径でS1とは異なる円をS2とし、

BCの延長線が円S2と交わる点をDとする。

このとき、AC=CDかつ∠ADC＝30°、AB=√3であるならば、BCの長さは？

No.2 ベストアンサー 回答者： banakona 回答日時： 2012/01/04 14:21

ＡＣ＝ＣＤなので　△ＡＣＤは二等辺三角形。

　よって　∠ＡＤＣ＝ＤＡＣ＝３０°
∠ＡＣＢは∠ＡＣＢの外角なので　∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＣ＋ＤＡＣ＝３０°＋３０°＝６０°

Ｓ1とＳ2は半径が同じで、弦ＡＣが共通なので円周角は等しい。∠ＡＤＣ＝ＡＢＣ＝３０°
よって△ＡＢＣは∠ＢＡＣ＝９０°の直角三角形で、ＡＢ：ＢＣ：ＣＡ＝√３：２：１

（これが分からなければ、ＡＢに関してＣと対称な点Ｅを取ると　∠ＥＢＡ＝ＣＢＡ＝３０°
なので　∠ＥＢＣ＝∠ＥＢＡ＋ＣＢＡ＝３０°＋３０°＝６０°
∠ＢＥＡ＝∠ＢＣＡ＝６０°ゆえ　△ＥＢＣは３つの内角がいずれも６０°なので正三角形。
よってＢＣ：ＣＡ＝２：１　三平方の定理でＡＢ：ＢＣ：ＣＡ＝√３：２：１）

ＢＣ＝ＡＢ÷√３×２＝√３÷√３×２＝２

No.1 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/01/03 22:12

円周角の定理より∠ABC=∠ADC＝30°

△ABDは二等辺三角形で△ABDと△ACDは相似
AD=AB=√3
CDcos30°=(√3)/2 → CD=1
BD/AB=AD/CD → BD=AB*AD/CD=(√3)*(√3)=3
BC=BD-CD=3-1=2
よって答えはBCの長さ＝２となります。