二番目の問題がわかりません！ 証明みたいに解かないといけないので計算式となんでその式になったのかとい

二番目の問題がわかりません！
証明みたいに解かないといけないので計算式となんでその式になったのかという説明も含めて教えて欲しいです！

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/18 10:32

No.1です。

これも No.1 はデタラメでしたので書き直します。無責任な回答で失礼しました。

　重心ですから、任意の点の周りのモーメントを考えて、「微小部分の重量のモーメントの総和＝全重量が重心位置にある場合のモーメント」で求めます。

　この問題の場合、上下対称なので、重心は水平方向の中心線上にあります。この「水平方向の位置」を求めます。
任意の点周りのモーメントを考えればよいので、ここでは、計算しやすさを考えて、切り抜いた円の中心を基準に考えます。ここから「左」を正に座標 x をとると、x～x+dx の面積を ΔS、全体の面積を S とすると、円の中心から重心位置までの距離を x0 として
　∫(x*ΔS)dx = x0*S　　　（１）
と書けます。

　図の数値が読めませんが、幅15 cm、高さ 10 cm、穴の中心が右から 5 cm、穴の半径 2 cm として計算します。

　問題の場合、穴のない領域(x=-5～-2、x= 2～10)では
　　ΔS = 10dx
穴のある領域(x=-2～2)では
　　ΔS = [ 10 - 2*√( 2^2 - x^2 ) ]dx
です。

　従って、（１）の左辺は

　∫[x=-5～-2](10x)dx + ∫[x=-2～2][ 10x - 2x*√( 2^2 - x^2 ) ]dx + ∫[x=2～10](10x)dx
= ∫[x=-5～10](10x)dx - ∫[x=-2～2][ 2x*√( 2^2 - x^2 ) ]dx

ここで、第2項で x=-2cosθ とおくと
　dx/dθ = 2sinθ
より
　dx = 2sinθ *dθ
積分範囲は
　x=-2～2　→ θ=0～π
よって
　∫[x=-2～2][ 2x*√( 2^2 - x^2 ) ]dx
= ∫[θ=0～π]{ -2cosθ*√[ 2^2( 1 - cos^2(θ) ] }dx
= ∫[θ=0～π][ -4cosθ*sinθ) ]2sinθ *dθ　　　　(A)

　ここで、三角関数の加法定理を使うと
　8cosθ*sinθ　→　4sin(2θ)
　4sin(2θ)*sinθ
　→　4*(1/2)*[ cos(2θ - θ) - cos(2θ + θ) ] = 2*[ cosθ - cos(3θ) ]
より(A)を続けると

= ∫[θ=0～π][ -2cosθ + 2cos(3θ) ]dθ
= [ -2sinθ + (2/3)sin(3θ) ][θ=0～π]
= 0

予想通り、消えてくれました！

　よって
　（１）の左辺
= ∫[x=-5～10](10x)dx
= [ 5x^2 ]∫[x=-5～10]
= 5(10^2 - 5^2)
= 5 * 75
= 375

　図形の全面積は
　　S = 15*10 - π * 2^2 = 150 - 4π
ですから、（１）式より
　( 150 - 4π) * x0 = 375
よって
　x0 = 375 / ( 150 - 4π) = 2.72846･･･ ≒ 2.73

　従って、重心位置は、Oから右の水平直線上で、円の中心から左に約 7.73 cm 、Oから右に約 7.27 cm の位置です。（長方形の中心がOから 7.5 cm ですから、そこからだと左に 0.23 cm）

　「円の中心」を基準にモーメントを考えれば、円の部分の寄与は「ゼロ」にできるので、そんな工夫が計算を楽にするようです。

この回答へのお礼

すごくわかりやすかったです‼︎
本当にありがとうございます！

お礼日時：2016/06/18 10:42

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/17 00:53

問1と同様に、上下対称。

あとは左右の面積。