激凹みから立ち直る方法

(n+1)^(1/2)のn階導関数を教えてください。
やり方が全然分かりません。


あとcos^(5)xのn回導関数はどうすれば良いですか?

どなたかお願いします。

質問者からの補足コメント

  • ∏は、まだ習っていないのですが、他に示す方法はありますか?

    あと、cosxの5乗じゃなくてcosxの3乗でn次導関数を解くとしたらどうなるのでしょうか?

    よろしくお願いします。

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2016/07/03 21:19

A 回答 (2件)

>∏は、まだ習っていないのですが、他に示す方法はありますか?



f(x) の n 階微分を f(n)(x) と書くと
 f(n)(x) = [(1/2) * (-1/2) * (-3/2) * (-5/2) * ・・・ * (3/2 - n)/2]*(x+1)^(1/2 - n)

ということです。


>あと、cosxの5乗じゃなくてcosxの3乗でn次導関数を解くとしたらどうなるのでしょうか?

これは「合成関数の微分」を使います。

 y = f(x)
 x = g(t)
のとき、
 dy/dt = (dy/dx)*(dx/dt)
となります。

これを使うと
 f(x) = cos^3(x)
で y = cos(x) とおくと
 f(y) = y^3

 つまり
  df/dx = (df/dy)*(dy/dx)
であり、ここでは
  df/dy = 3y^2
  dy/dx = -sin(x)
ですから
  f'(x) = 3cos^2(x) * (-sin(x))
    = -3[ 1 - sin^2(x) ] * sin(x)
    = 3sin^3(x) - 3sin(x)

後は同様にやって行きます。

  f''(x) = 9sin^2(x) * cos(x) - 3cos(x)
     = 9[ 1 - cos^2(x) ]*cos(x) - 3cos(x)
     = 9cos(x) - 9cos^3(x) - 3cos(x)
     = -9cos^3(x) + 6cos(x)

  f'''(x) = -27cos^2(x) * (-sin(x)) - 6sin(x)
     = 27[ 1 - sin^2(x) ] * sin(x) - 6sin(x)
     = -27sin^3(x) + 21sin(x)
     
これを繰り返していけばよい。
sin, cos の繰り返しですね。

規則性は、探してみてください。
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>(n+1)^(1/2)のn階導関数



nのn次は紛らわしいので、「(x+1)^(1/2)のn階導関数」にしましょう。

 F(X) = X^a
の微分は
 F'(X) = a * X^(a-1)
であることを使います。

 f(x) = (x+1)^(1/2)
とすれば
 f'(x) = (1/2)*(x+1)^(-1/2)
 f''(x) = -(1/2^2)*(x+1)^(-3/2)
 f'''(x) = [ 1*3/(2^3) ]*(x+1)^(-5/2)
 f(4)(x) = -[ 1*3*5/(2^4) ]*(x+1)^(-7/2)

f(x) の n 階微分を f(n)(x) と書くと
 f(n)(x) = [ Π[k=1~n](3/2 - k) ]*(x+1)^(1/2 - n)
かな?

(注) Π[k=1~n](3/2 - k) は、k=1~n について「かけ合わせる」という「総乗」です。
この回答への補足あり
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