(n+1)^(1/2)のn階導関数を教えてください。

(n+1)^(1/2)のn階導関数を教えてください。
やり方が全然分かりません。


あとcos^(5)xのn回導関数はどうすれば良いですか？

どなたかお願いします。

質問者からの補足コメント

• ∏は、まだ習っていないのですが、他に示す方法はありますか？
  
  あと、cosxの５乗じゃなくてcosxの３乗でn次導関数を解くとしたらどうなるのでしょうか？
  
  よろしくお願いします。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/07/03 21:19

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/07/03 20:52

＞(n+1)^(1/2)のn階導関数

ｎのｎ次は紛らわしいので、「(x+1)^(1/2)のn階導関数」にしましょう。

　F(X) = X^a
の微分は
　F'(X) = a * X^(a-1)
であることを使います。

　f(x) = (x+1)^(1/2)
とすれば
　f'(x) = (1/2)*(x+1)^(-1/2)
　f''(x) = -(1/2^2)*(x+1)^(-3/2)
　f'''(x) = [ 1*3/(2^3) ]*(x+1)^(-5/2)
　f(4)(x) = -[ 1*3*5/(2^4) ]*(x+1)^(-7/2)

f(x) の n 階微分を f(n)(x) と書くと
　f(n)(x) = [ Π[k=1~n](3/2 - k) ]*(x+1)^(1/2 - n)
かな？

（注） Π[k=1~n](3/2 - k) は、k=1~n について「かけ合わせる」という「総乗」です。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/07/03 23:17

＞∏は、まだ習っていないのですが、他に示す方法はありますか？

f(x) の n 階微分を f(n)(x) と書くと
　f(n)(x) = [(1/2) * (-1/2) * (-3/2) * (-5/2) * ･･･ * (3/2 - n)/2]*(x+1)^(1/2 - n)

ということです。


＞あと、cosxの５乗じゃなくてcosxの３乗でn次導関数を解くとしたらどうなるのでしょうか？

これは「合成関数の微分」を使います。

　y = f(x)
　x = g(t)
のとき、
　dy/dt = (dy/dx)*(dx/dt)
となります。

これを使うと
　f(x) = cos^3(x)
で y = cos(x) とおくと
　f(y) = y^3

　つまり
　　df/dx = (df/dy)*(dy/dx)
であり、ここでは
　　df/dy = 3y^2
　　dy/dx = -sin(x)
ですから
　　f'(x) = 3cos^2(x) * (-sin(x))
　　　　= -3[ 1 - sin^2(x) ] * sin(x)
　　　　= 3sin^3(x) - 3sin(x)

後は同様にやって行きます。

　　f''(x) = 9sin^2(x) * cos(x) - 3cos(x)
　　　　 = 9[ 1 - cos^2(x) ]*cos(x) - 3cos(x)
　　　　 = 9cos(x) - 9cos^3(x) - 3cos(x)
　　　　 = -9cos^3(x) + 6cos(x)

　　f'''(x) = -27cos^2(x) * (-sin(x)) - 6sin(x)
　　　　　= 27[ 1 - sin^2(x) ] * sin(x) - 6sin(x)
　　　　　= -27sin^3(x) + 21sin(x)
　　　　　
これを繰り返していけばよい。
sin, cos の繰り返しですね。

規則性は、探してみてください。