◆次の問いについて教えていただけないでしょうか。
「xy平面において,動点Pが時刻t=0に原点を出発し,y≧0の部分をある方向に一直線に速さ1で進み始める。Pは時刻t=α (0≦α≦1)にy軸の正の方向に進路をとって一直線に速さ2で進む。時刻t=1にPが存在しうる領域を図示せよ。」
◆以下,私の解答案です。
原点をO,時刻t=αでのPの位置をA,時刻t=1でのPの位置をB(x,y),OA=p,AB=q,x軸を始線として半直線OAがなす角をθ (0≦θ≦π)とする。
Pは線分OAを速さ1で進んで時間αかかり,線分ABを速さ2で進んで時間1-αかかるので,
p/1=α,q/2=1-α
∴2p+q=2 …①
B(x,y)の各座標は次のように表せる。
x=pcosθ, y=psinθ+q …②
ここで,(cosθ)^2+(sinθ)^2=1であるから,
(pcosθ)^2+(psinθ)^2=p^2
x^2+(y-q)^2=p^2 (∵②)
x^2+(y-q)^2=(1-q/2)^2 (∵①)
qについて整理して,
3q^2+4(1-2y)q+4(x^2+y^2-1)=0 …③
qのとりうる値の範囲を考える。
0≦α≦1であるから,0≦q≦2 …④
0≦p≦1, 0≦sinθ≦1であるから,②よりy-1≦q≦y …⑤
④,⑤より0≦q≦y …⑥
qの方程式③が⑥の範囲に実数解をもつような(x,y)の条件を求め,それをxy平面の図示すればよい。
③の左辺をf(q)とする。
f(q)=3{q+2(1-2y)/3}^2+4(x^2+y^2-1)-{4(1-2y)^2}/3
r=f(q)の軸はr=2(2y-1)/3,頂点の座標は(2(2y-1)/3, 4(x^2+y^2-1)-{4(1-2y)^2}/3)である。
(i) 2(2y-1)/3<0⇔y<1/2のとき
f(0)f(y)≦0となればよい。
(x^2+y^2-1)(2x-y+2)(2x+y-2)≦0 …⑦
(ii) 2(2y-1)/3>y⇔y>2のとき
(i)と同じ。
(iii) 1/2≦y≦2のとき
f(0)≧0かつf(y)≧0かつ4(x^2+y^2-1)-{4(1-2y)^2}/3≦0となればよい。
x^2+y^2≧1かつ
(2x-y+2)(2x+y-2)≧0かつ
(√3x-y+2)(√3x+y-2)≦0
◆…と,求めてみたのですが,解答がないため合っているか不安です。
方針および答えが合っているかどうか,ご回答いただけないでしょうか。
よろしくお願いいたします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
①の式に誤りがあります。
その後①を使うところでは、正しいものを使っているようですが。連立不等式にするところで誤りがあるようです。実際に図示して見ましたか?
私なら、
(x,y)=a(cosθ,sinθ)+(1-a)(0,2)
とベクトルを使って表し、
点(x,y)は、2点(cosθ,sinθ),(0,2)を結ぶ線分上の点であることを使って図示しますね。
どうしても不等式であらわしたければ
#1 x^2+y^2≧0
かつ√3x+y-2≦0
かつ√3x-y+2≧0
かつy≧0
#2 x^2+y^2≦0
かつ2x+y-2≧0
#3 x^2+y^2≦0
かつ2x-y+2≦0
#1または#2または#3ですかね。
◆ご回答ありがとうございます。
> ①の式に誤りがあります。その後①を使うところでは、正しいものを使っているようですが。
◆ご指摘の箇所は「2p+q=2 …①」と「x^2+(y-q)^2=(1-q/2)^2 (∵①)」でしょうか?
お手数ですが、どう誤っているのかご教示いただけないでしょうか。
2p+q=2⇔p=1-q/2を円の方程式に代入しているので、両方とも合っているか誤っているかだと思っております。
> 連立不等式にするところで誤りがあるようです。
◆確かに、(ii) y>2のときはよくよく考えると明らかに誤っていますね…。最初からy軸の正の方向に直進してもy=2までしか到達できませんから。
どこか条件が不十分な箇所があるのでしょうか?
> 点(x,y)は、2点(cosθ,sinθ),(0,2)を結ぶ線分上の点であることを使って図示しますね。
◆なるほど!それでも一度解いてみたいと思います。
◆引き続き、よろしくお願いします。
No.2
- 回答日時:
すみません。
①は勘違いでした。合ってます。申し訳ないです。質問者さんの答案を読ませて頂きました。
③をx,yを定数として、qの二次方程式として考えていますが、x,yとqは独立ではないので、このような考え方はできないと思います。
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