高校3年の数学好きです。
フェルマーの最終定理は
x^n + y^n = z^n (nは3以上の整数)
とすると、「整数解」は自明なもの、
つまり 、xyz=0 をみたすものしかないという定理としてワイルズが最終的に証明しましたが、「有理数解」も自明なものしかないと思います。
もし以下の証明が既に存在する、もしくは間違いがあるならご指摘をよろしくお願いします。
証明
x^n+y^n=z^n (nは3以上の整数)に
非自明な有理数解、(x,y,z)=(a/b,c/d,e/f)
が存在すると仮定する(a,b,c,d,e,fは0以外の整数)。
このとき、
(a/b)^n+(c/d)^n=(e/f)^nであるから
{(ad)^n+(bc)^n}/(bd)^n=(e/f)^n
(adf)^n+(bcf)^n=(bde)^n が成り立つ。
ここでadf,bcf,bdeはそれぞれ0でない整数であるから、(x,y,z)=(adf,bcf,bde)は
x^n+y^n=z^nを満たす非自明な整数解となるが、これはフェルマーの最終定理に矛盾。
よって、nが3以上の整数のとき、
x^n+y^n=z^nを満たす非自明な有理数解(x,y,z)は存在しない。 Q.E.D.
拙い文で申し訳ありませんが、よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>もし以下の証明が既に存在する
例えば英語版 Wikipedia にあります.
https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Th …
"Equivalent statements of the theorem" の "Equivalent statement 2" を参照.
"it can be multiplied through by an appropriate common denominator to get a solution in Z"とありますがここを具体的に書けば kobafumi さんの証明のように (a/b)^n+(c/d)^n=(e/f)^n の両辺を (bdf)^n 倍するということになるでしょう.
※一般にいって, http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/summer … の「はじめに」のように, 「(斉次式=0) という形の方程式の整数解を考える問題は, 有理数解を考えることに帰着できる」という事実は広く知られていると思います.
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 某大学の数学入試問題で、フェルマーの定理絡みの問いがありました。 9 2023/02/14 08:35
- 数学 京都大学教授が証明。 「ABC予想・宇宙際タイヒミューラー予想」を、ザックリで説明お願致出来ますか? 1 2022/04/11 20:52
- 数学 この証明は高校数学の範囲でできますか?数1 数と式 5 2023/04/06 09:24
- 数学 √nが有理数ならばnが整数 証明 なぜ √nが有理数ならばnが整数の証明の解答です。わからない部分が 2 2022/08/04 09:41
- 数学 0でも無限でもない。 4 2023/04/22 19:12
- その他(悩み相談・人生相談) お金さえあればなんでも出来るらしいのですが、例えば1000億円の資産があれば、独学で数学を研究してフ 4 2023/03/27 21:24
- 数学 アマチュア数学者について 2 2022/06/08 17:55
- 数学 ゴールドバッハの予想の部分証明について 4 2022/06/04 13:53
- 数学 ゴールドバッハの予想について 2 2022/05/24 22:57
- 数学 フェルマーの最終定理ではない。 2 2023/04/22 20:48
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
数学についてです 「 aを定数と...
-
答えを教えて
-
Excelで合計値を基にデータを均...
-
tanX=Xの解
-
16の4乗根は±2ではない!?
-
高校数学の問題について 2次方...
-
微分の重解条件は公式として使...
-
4次関数と二重接線に囲まれる面...
-
cos x = 0の解の書き方について
-
a(x-α)(x-β)
-
定数係数以外の2階常微分方程...
-
数学II 三次方程式 x^3-5x^2+ax...
-
連立二次不等式についての問題
-
等差数列の和を利用・・?
-
偏微分方程式のラプラス変換に...
-
定数変化法って全ての解を出せる?
-
y''=-yの一般解について
-
確率の求め方を教えてください
-
2次方程式の2解がともに0と3の...
-
x^y=y^x (x>y)を満たす整数解は...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
Excelで合計値を基にデータを均...
-
tanX=Xの解
-
16の4乗根は±2ではない!?
-
数学についてです 「 aを定数と...
-
答えを教えて
-
一枚の板から何枚取れるか?
-
微分方程式の解を、微分方程式...
-
解なし≠解はない
-
解に3つ以上±や∓がある時複号...
-
微分の重解条件は公式として使...
-
数学I 二次方程式について次の...
-
微分方程式 定常解について・・・
-
x^y=y^x (x>y)を満たす整数解は...
-
3次関数と直線が接する場合、...
-
3次方程式の解の範囲について
-
3次関数と1次関数が接するとき
-
複数の品目での単価と全体の合...
-
次の関数が,与えられた微分方...
-
定数係数以外の2階常微分方程...
-
3次方程式
おすすめ情報