長方形に対角線をひいた時にできる三角形の面積

小学校の算数の問題に関してです。すごく基本的なところでつまずいています。

図形の面積を求める問題で、正六角形の中に長方形が書いてあって(図的には六角形の中が長方形＋２個の三角形に分かれている)その長方形部分の面積を求めなさいという問題がありました。問題で与えられているのは正六角形の面積だけです。

答えには正六角形の面積÷6×4で求められるとあったので、長方形に対角線を引いて中を4つの三角形に分割して全体を6つの同じ面積の三角形の集合と考えるという事だと理解しました。

本題はこの問題そのものではなくて、「長方形を対角線で分割した時にできる4つの三角形の面積は同じ」というところです。この部分が本質的に理解できてません。

対角線を1本引いた時に長方形が二分割されるのは分かるとして(理屈というより視覚的に)そこから更に反対側の対角線を引くと2つの三角形が二分割・・・・・・されてる？という調子で心の底から分かった気がしないです。

対頂角の向かいに同士にある三角形が同じ面積になっているのは分かります。(これも理屈でというより視覚的に・・・・・・)　しかし2本目の対角線が更に三角形を二分割して全部の三角形が同じ面積になっているという事がどうしてもピンとこないんです。

方眼紙の目盛りがあるなど、三角形の底辺や高さが分かっている時はそれぞれの面積を求める事によって確かに同じ面積になってるなといやでも確認できますが、それらの数値がないと途端にピンとこなくなります。1/2 ×1/2で1/4で良いんじゃないの？と納得しようとしましたが、イメージ上、対角線が分割してるのは元の長方形・・・としか思えず思考が止まります。

基本的な理解の仕方から教えていただけたら助かります。

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます。分かりにくいかもしれないのでピンぼけですが問題図の写真をのせてみました。ピンクの長方形が求める部分です。中の対角線は自分で引きました。

  
    補足日時：2016/10/08 21:59

• ベストアンサーは一番簡潔に理屈が理解できたのを選びました。
  気分的には図解して下さった回答も同じくベストアンサーに選びたいです。
  ありがとうございました。

    補足日時：2016/10/10 13:19

• すみません。ベストアンサー選んだつもりで出来ていませんでした。でもそのおかげで回答をもらえたので補足します。分からなかったことは、長方形の中の対角線を底辺と考えた場合、形の違う三角形同士の高さが同じと言えるかどうかでした。→自分で書き込みをした図を追加しました。図の中の①と②と番号をつけた三角形を、太めに書いた対角線を底辺とみなした時に２つの三角形の高さは同じと考えてよいか。No2の回答で「底辺が等しく、高さが共通の三角形の面積は等しい」とあったので、対角線を底辺と考えれば高さが同じと見なせるのかと思ったんですが・・・違ったでしょうか。

  
    補足日時：2016/10/11 01:14

• 

  お二人ともありがとうございます。何回もすみません。
  回答の雰囲気がちょっと違ってNo7は高さ同じで◎、No8はその証明は難しいとおっしゃっていただいているように思えます。
  結論的には、この図の対角線を底辺に高さのことを考えない方がいいでしょうか。
  新しくインターネットで見つけた平行四辺形の分割図と似て、平行な2線(台形)の同じ1点頂点にしているので同じ高さに見える気はするのですが、それだけでは証明にはならないですかねやっぱり。
  自分の中で高さの見なし方があやふやかもしれません。
  あまりここにこだわっても仕方ないのでこの質問はこれで最後にします。

  
    補足日時：2016/10/12 19:50

• 

  bendokuさんとkairouさん、たくさんの回答ありがとうございました。特にbendokuさん最後までありがとうございます。回答よく読み直します。ベストアンサーが選びにくくなったので選ばないで回答締め切りたいと思います。実際はどちらもベストアンサーな気持ちです。ありがとうございました。

    補足日時：2016/10/13 16:20

No.11 回答者： bendoku 回答日時： 2016/10/12 22:13

No1です。

　底辺に対して、頂点から垂線を下しているので、「ア」と「イ」の三角形の高さは同じ。同様に、「ウ」と「エ」の三角形の高さは同じ。元々ひし形なので、全ての三角形の高さは同じです。一辺を半分にしただけなので、底辺の長さはすべて同じ。したがって、「ア」「イ」「ウ」「エ」の三角形の面積は、全て同じです。

No.10 回答者： bendoku 回答日時： 2016/10/12 21:59

No1です。

　同じ三角形です。全体の三角形を赤色と緑色に分けて考えます。どちらも、長方形の半分で、面積が求められます。底辺に対して、頂点から垂線を下せば、高さは同じになります。

No.9 回答者： bendoku 回答日時： 2016/10/12 21:05

No1です。

　三角形の面積の公式の意味を考えてください。底辺×高さ÷2　というのは、底辺と高さでできる、長方形の面積の半分ということです。
　左側の三角形は、高さの点線で分けて、「1」と「2」の三角形は、それぞれ、同じ高さの長方形の面積の半分です。だから、面積は、底辺×高さ÷2　で求められます。　同様に、全体の三角形も、底辺×高さ　の長方形の半分です。
　右側の三角形は、全体の三角形から、左側の三角形の面積の残りです。全体の三角形の底辺は、左側の三角形の底辺の2倍です。
　高さは同じです。同じ頂点です。

No.8 回答者： kairou 回答日時： 2016/10/12 10:44

＞太めに書いた対角線を底辺とみなした時に２つの三角形の高さは同じと考えてよいか。

対角線を底辺とする三角形を考えると、高さを求める事はかなり大変ですよ。
①、②の三角形の底辺は、長方形の長辺と短辺を底辺と考えるのが普通です。

この回答へのお礼

高さを求めるというより、高さが同じかどうかなんですが(同じことでしょうか)、証明は難しいでしょうか。その辺があいまいです。どちらにしても何度もありがとうございます。

お礼日時：2016/10/12 19:56

No.7 回答者： bendoku 回答日時： 2016/10/11 13:58

No1です。

　全体の三角形のうち、底辺が二分の一の左側の三角形の面積は、全体の二分の一です。残りは二分の一なので、右側の面積も、全体の二分の一です。底辺と高さが同じなら、三角形の面積は同じです。形が違うので、一見分かり難いですが、公式は、どの三角形にも当てはまります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。高さは同じと考えて構わないでしょうか。その辺があいまいで・・・毎回絵付きでありがとうございます。

お礼日時：2016/10/12 19:52

No.6 回答者： bendoku 回答日時： 2016/10/11 01:33

No1です。

　形は違っても、高さが同じなら、面積はすべて同じです。

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2016/10/10 14:31

＞対頂角にない三角形同士の高さが同じという事がいまいち理解できていません。

Ｎｏ３　です。
私の回答の下から３～４行目にある、上下左右の三角形の事でしょうか。
上下二つの三角形は同じ高さです。底辺も同じ長さです。
左右二つの三角形も、高さ底辺共に同じです。

でも、上の三角形と左の三角形とでは高さは違います。
底辺の長さも違います。しかし、面積は同じになります。

上の三角形の高さは左の三角形の底辺の2分の1です。
左の三角形の高さは上の三角形の底辺の2分の1です。
三角形の面積は、「底辺」×「高さ」÷２　ですから、
どちらも、長方形の「横幅」×「縦幅」÷2÷２　と同じになります。

この回答へのお礼

補足解説ありがとうございます。ご解説はすごく良く分かりやすく助かっています。追加の質問はそれとはちょっと違うところを見ていました。よろしければ、質問の補足に追加をしたのでご確認お願いします。

お礼日時：2016/10/11 01:20

No.4 回答者： bendoku 回答日時： 2016/10/08 22:32

No1です。

　問題の図を分割すると、右上の、赤い「正三角形の半分の直角三角形」を、12個ならべることでできるのです。赤い直角三角形が二つで正三角形ができます。この正三角形を6個並べて、問題文の図になります。長方形の部分は、この赤い直角三角形が8個分です。

この回答へのお礼

写真をのせる前からちゃんと図を書いてあって感動しました。確かにこうすれば同じだと納得できました。解答は簡単に114÷6×4=76(cm2)となっていたので長方形を4分割すればいいかと考えましたが発想の切り替えが必要なんだと思いました。回答ありがとうございました。

お礼日時：2016/10/08 23:46

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2016/10/08 21:31

「長方形を対角線で分割した時にできる4つの三角形の面積は同じ」

三角形の面積の求め方は習いましたよね。　「底辺」×「高さ」÷2　です。
横に長い長方形を考えて下さい。そしてそれの対角線を引いて下さい。
4つの三角形が出来ましたよね。
上下2つと左右2つは同じ物ですよね。（この証明は中学生になってからだったと思います。）
それぞれの面積を考えてみましょう。
上下の三角形の面積は、「長方形の横幅」×「高さの半分」÷2　です。
左右の三角形の面積は、「長方形の高さ」×「横幅の半分」÷2　です。
つまり、4つ全ての三角形は、長方形の「縦」×「横」÷4　となり、同じ面積になります。
もちろん、「縦」×「横」は長方形の面積ですよね。

この回答へのお礼

すごく分かりやすい解説ありがとうございました。理路整然としていて、なるほどと思いました。そう考えればいいんですね。
もし余力があればでかまいませんが、他の回答者さんの解説でわからない点について余教えて下さるとありがたいです。対頂角にない三角形同士の高さが同じという事がいまいち理解できていません。これが理解できれば視覚的にも理解できるようになると思います。

お礼日時：2016/10/08 23:35

No.2 回答者： yaemon_2006 回答日時： 2016/10/08 21:22

>反対側の対角線を引くと2つの三角形が二分割

底辺が等しく、高さが共通の三角形の面積は等しい。

この回答へのお礼

回答を見てあっと思いました。基本でした。ただ、致命的かもしれないですが、2つ目の対角線で分割された隣通しの三角形(対頂角にはない三角形同士)の高さも同じになるのかそこがピンときません・・・垂直線を引いたら確かに同じ高さかなと思えてきます。そんな理解で大丈夫でしょうか。

お礼日時：2016/10/08 23:09