分散について

Var(1/Xi)=1/X*2

になりますか？

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2017/01/19 02:03

企業（メーカー）で統計を担当する者です。

逆数の期待値とか分散がどんな分布になるか、
社内では、年に１回あるかないかというレアな質問ですね。

正規分布に従う変量の分散はχ^2分布に従うからと言って、
正規変量の逆数の分散が、χ^2の逆数になるかというと、
#1さんの書かれた通り、そんな簡単なものではありません。

この問題は、日本では、1980年の「応用統計学Vol.9,No.2」に掲載された
中村剛「正規変量の逆数のモーメントとその特性について」という論文で
近似解が解かれております。
PDFがネット上で公開されています。

x　を正規分布　N(μ，σ^2)　に従う非負の確率変数、
（非負ということは0で切断（トランケート）されている）
変動係数　δ＝σ／μ　とすると、
δが十分小さければ、（ただし、0ではない）

E(1／x)＝(1＋δ^2)／μ
V(1／x)＝δ^2・(1－δ^2)／μ^2

おおよそ、δ＜0.1　であれば成立することは、
数値シミュレーションで確認済みです。

1／x　の分布形状は、おおかた上記の正規分布に従います。
1／x　の分散の分布形状は、すみませんが、不明です。
検定時の誤差については、かの論文で議論されています。

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2017/01/12 22:17

Xiが確率変数？

Xは何？Xiの期待値？

なんだかわかりませんが、おそらく、どのような解釈だとしても、その式はなりたたない可能性が非常に高いです。
一般に、除算の確率分布は、非常に複雑で簡単な式で書けるようなものではありません。