与えられた点から引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。 (1)y=-x2乗+x-3 (1.1) (

与えられた点から引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。
(1)y=-x2乗+x-3 (1.1)

(2)y=x3乗+4 (0.-12)
お願いします。

No.1 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/01/31 20:01

接点の座標を(X,Y)として

接点での傾きをY'と表現することとする（x=Xの位置でのy'と言う意味）
与えられた点（(x0,y0)とする）を通り傾きY'の直線は、
y=Y'x+bにx0,y0を代入して
y0=Y'x0+bより
b=y0-Y'x0なので
y=Y'x+(y0-Y'x0)
Y'(x-x0)=y-y0
Y'=(y-y0)/(x-x0)と表される。
この傾きは(X,Y)と(x0,y0)を結ぶ直線の傾きなので
Y'=(Y-y0)/(X-x0)とも表される。
よって
(y-y0)/(x-x0)=(Y-y0)/(X-x0)
(y-y0)=(Y-y0)(x-x0)/(X-x0)
y=(Y-y0)(x-x0)/(X-x0)+y0　…（接線の方程式）
これが元の式と一致する点が接点(X,Y)である。
また、y'=Y'となるxがXなので、xについて解くことでXが求まり、
それを代入してYも求まる。
接点が分かれば、それを代入することで接線の式も求まる。

(1)
y=-x^2+x-3　元の式
y'=-2x+1=Y'=(y-1)/(x-1)　元の式の傾き＝接線の傾き
y-1=-2x^2+x+2x-1
y=-2x^2+3x　元の式の傾きと接線の傾きが一致するy座標（＝Y）
-x^2+x-3=-2x^2+3x　元の式にYを代入
x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0
x=(3,-1)　（＝X）
X=3の時
Y=-9+3-3=-9
X=-1の時
Y=-1-1-3＝-5
よって接点の座標は(3,-9)および(-1,-5)

接線の式は
y=(Y-y0)(x-x0)/(X-x0)+y0=(Y-1)(x-1)/(X-1)+1
(3,-9)の時
y=(-9-1)(x-1)/(3-1)+1=(-10x+10)/2+1=-5x+5+1=-5x+6
y=-5x+6
(-1,-5)の時
y=(-5-1)(x-1)/(-1-1)+1=(-6x+6)/(-2)+1=3x-3+1=3x-2
y=3x-2

(2)
y=x^3+4　元の式
y'=3x^2=Y'=(y+12)/x　元の式の傾き＝接線の傾き
y+12=3x^3
y=3x^3-12　元の式の傾きと接線の傾きが一致するy座標（＝Y）
x^3+4=3x^3-12　元の式にYを代入
2x^3-16=2(x^3-8)=0
x=2　（＝X）
X=2の時
Y=8+4＝12
よって接点の座標は(2,12)

接線の式は
y=(Y-y0)(x-x0)/(X-x0)+y0=(12+12)x/2-12＝12x-12
y=12x-12

となります。