なぜ三角形の面積は底辺×高さ×1/2なのでしょうか？ 小学生の時に習いましたが、確か最初面積を求める

なぜ三角形の面積は底辺×高さ×1/2なのでしょうか？
小学生の時に習いましたが、確か最初面積を求めるとは1×1の正方形に一つのボールを対応させ、その数を数えると習いました。
しかし、三角形になるとボールの数を数えるという考え方ではできないです。
なぜならボールは分割されるからです。
私の考えでは、分数の場合でも1×1の正方形を等分した正方形に異なる種類のボール（でもなんでも1/1000ボールでもなんでも）を対応させ、その最小単位のボールの個数を数えれば面積は求まると思うのですが、この考え方は積分を使うので、小学生には無理だから、便宜的に三角形の面積の積分の結果のみを教えているという理解で良いでしょうか？

No.18 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/08/27 13:38

面積って何で有るかが解れば疑問は氷解する筈です。

面積は約束毎（決め事）です。
1辺が1の正方形の面積を1とする、と決めた訳です。

なので、縦2×横3の長方形では、1辺が1の正方形が縦に2個入り、横に3列入る、だから2×3=６で、6個入ってるはら6と云う事です。

3角形なら、縦が高さ、横が底辺の長方形の半分。
だから、長方形の面積（縦×横=高さ×底辺）を求めて2で割る事を行なってる。

それだけの話です。

No.17 回答者： puyo3155 回答日時： 2017/08/22 19:02

三角形をあわせて平行四辺形、なので、その半分が三角形の面積。

それでも気に食わなければ、平行四辺形、相似で変形して長方形。長方形の面積はさすがにわかるから、その半分が三角形の面積。

相似の移動等は、面積が同じ（これも知らないなら、別途証明はあります）

四角形の面積は、辺の掛け算だけど、これは、積分したのと同じ。正方形を数えたのと同じ。

とまあ、なにも不思議はないのですが・・・・

No.16 回答者： fxq11011 回答日時： 2017/08/22 18:50

あなたのいうビシッと・・・・。

多分、同じ時間に、空間の同じ位置を占めるものしか存在しません。
つまり、等しい、とか一致するとか・・は無関係、唯一無二のそれそのものです。

No.15 回答者： かつみ先輩 回答日時： 2017/08/21 23:36

お疲れ様

No.14 回答者： tekcycle 回答日時： 2017/08/21 20:42

鈍角を持たない三角形については、

長方形を考え、底辺を共通とし、三角形の頂点を通過する上辺を持つ長方形について考えるでしょう。
長方形から三角形を切った残りから、同じ三角形が作れるはずです。
三角形の頂点から、底辺に垂線を降ろして下さい。
その垂線で分けられてできた二つの長方形は、どちらも、対角線を三角形の辺が走っていて、その対角線で分けられてできた二つずつの三角形は、それぞれが合同となるからです。

鈍角を持つ三角形は、平行四辺形を考えていくか、
頂点から降ろした垂線を含む長方形を考えて、その長方形を三角形の辺が対角線として長方形を二等分していて、三角形の面積は、長方形を対角線で二等分した図形から余分な三角形を引いた物でしょう。
その余分な三角形を長方形の中心に対して点対称で移動させれば、長方形内の残りの三角形でも同様なことが起きます。
すると、三角形の面積は、
(長方形の面積÷２)－余分な三角形
＝(長方形の面積－余分な三角形×２)÷２
となり、
じゃぁ(長方形の面積－余分な三角形×２)とはどんな図形か考えてみれば、三角形の底辺と平行で三角形の頂点を含む線と、底辺の両側から垂線を立てた線で囲まれてできる長方形のはずです。

No.13 回答者： 與くん大好き 回答日時： 2017/08/21 18:04

四角形を斜めに半分（二分の一）にすれば三角形になりますよね？四角形の面積の公式は横×縦。

つまり底辺×高さになります。その半分が三角形なので底辺×高さ×二分の一になるんだと思います！

No.12 回答者： okum 回答日時： 2017/08/21 07:18

普段当たり前と思われていることを疑う、というのは学問する態度としては王道だと思います。

原理的な考え方の原則は既に皆さんが回答されている通りだと思いますが、そこまで拘られているなら、きっそ幾何学の礎、西洋では聖書の次に読まれているという「ユークリッド原論」(全13巻)を読まれるしかないと思います。図形面積の部分は確か2巻か3巻目だだたと思います。疑問の思った時がチャンス！数学を趣味にできれば、一生自分の頭だけでどこでも楽しめるようになります。先は長いですが
頑張って！p(^_^)q

No.11 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/08/20 22:03

まあようするに私の言いたいのは、三角形を切り貼りして、2倍の面積を持つ

長方形を作る手順示せば、その半分と納得して貰えるのでは無いかと
言うことです。

斜め線が使えないのでは、三角形の面積その物の定義は無いことなって
そっから先へはすすめませんよね。

任意の形の面が有ればそこには必ず面積が有り、面積全体は部分の面積の総和である
という点をまず認めて貰わないと、話が進まないと思います。

No.10 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/08/20 20:02

小学生であれば、そんな厳密性は必要ありません。

適当な三角形を折り紙から切り出します。
それを別の折り紙に重ね合わせて、もう一枚同じ三角形を切り出します。
そしてその一枚を180度回転させて張り合わせます。
おそらくは平行四辺形の形になるので、
端を切り、反対側に張り合わせる動作を繰り返します。
1度でダメな場合は、2度3度繰り返せば長方形になるはずです。
2枚の同じ三角形を合わせると長方形になることがわかるので、
三角形の面積は長方形の半分の面積だとわかります。


ちなみにこの考え方は三角形に限りません。
階段状の形でも成り立ちます。
1～10まで1段ずつ高くなっていく階段を考えます。
それと同じものを用意して180度回転させます。
組み合わせると11段の高さの長方形になるはずです。
式に直すと、11×10
元の階段状の面積はその半分ですので
11×10÷2=55 という解が得られます。
これを一般化すると、
1～nまで1段ずつ高くなっていく階段状の面積は
(1+n)×n÷2 =n(n+1)/2
となります。

大学受験をしようとしている人なら、
これが何の式だかわかりますよね。

No.9 回答者： fxq11011 回答日時： 2017/08/20 18:42

＞ビシッと正確に正しい

条件なしで、正確、正しい、本物、真理・・・・・その他。
そんなもの存在しません、あったとしても単にあなたがそう思い込むだけの事です。
偽物、単に偽物と言うだけでも上記同様存在しませんが、○○の偽物の存在があって初めて（○○の）本物が存在します。