なぜ三角形の面積は底辺×高さ×1/2なのでしょうか？ 小学生の時に習いましたが、確か最初面積を求める

なぜ三角形の面積は底辺×高さ×1/2なのでしょうか？
小学生の時に習いましたが、確か最初面積を求めるとは1×1の正方形に一つのボールを対応させ、その数を数えると習いました。
しかし、三角形になるとボールの数を数えるという考え方ではできないです。
なぜならボールは分割されるからです。
私の考えでは、分数の場合でも1×1の正方形を等分した正方形に異なる種類のボール（でもなんでも1/1000ボールでもなんでも）を対応させ、その最小単位のボールの個数を数えれば面積は求まると思うのですが、この考え方は積分を使うので、小学生には無理だから、便宜的に三角形の面積の積分の結果のみを教えているという理解で良いでしょうか？

No.8 回答者： springside 回答日時： 2017/08/20 16:11

大学受験を控えているのであれば、こういう頭の悪い小学生の疑問のようなくだらないことに構っている暇はないはず。

もしどうしても判らないのであれば、面積を積分で定義すればいい。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/08/20 13:48

>ビシッと正確に正しい答えを求めた感じがしないです

う～ん、完全に同じ形が同じ面積と認めて貰えないとすると
1×1の正方形の面積が同じというのも崩れますよね。

そうすると何を拠り所にするのか見当もつかないですよね。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/08/20 12:48

長方形を対角線で切ると、同じ形で同じ面積の直角三角形

2枚になるというのは
納得してもらえませんかね?

これを使えれば大部説明が楽になると思います。

この回答へのお礼

なんとなくは分かるんですが、ビシッと正確に正しい答えを求めた感じがしないです。…
ぴったり重ねることができるから同じ面積っていうのは本当に当たり前のことであるのは分かるんですが、…
当たり前であるからこそ本当にそれで良いのかって思ってしまいます。
幾何っていうのは経験論によって作られたものだと、ある意味科学みたいなものだと今のところは捉えていれば良いでしょうか？
本当はユークリッド原論とかから学んだ方が良いのでしょうが、自分は大学受験も控えており時間もないので適当に妥協して進めていきます。m(_ _)m

お礼日時：2017/08/20 13:00

No.5 回答者： kmee 回答日時： 2017/08/20 10:06

> 小学生の時に習いましたが、確か最初面積を求めるとは1×1の正方形に一つのボールを対応させ、その数を数えると習いました。

私が小学生だったのは40年近く前ですが、そんな覚え方した記憶はまったくありません。
それに、その考えでは、 0.5 x 1.5 なんて長方形でも無理です。

その考えは、「 面積は単位面積の何倍になっているか、で表わす」という約束を、身近な物でイメージできるようにしたものでしょう。
イメージができたら、忘れた方がいいものです。


三角形の面積は以下のように習った記憶があります。
・底辺a,高さhの合同な三角形を2つ並べると、底辺a,高さhの平行四辺形になる。
・同じ面積の三角形2つが平行四辺形と同じ面積なのだから、三角形1つではその半分
三角形の合同、平行線の同位角、錯角等から簡単に証明できるので、小学校の算数の範囲でもできるはずです。

No.4 回答者： kazu0801 回答日時： 2017/08/20 09:46

平行四辺形の面積は底辺×高さです。

三角形は平行四辺形を1/2に分割したものです。
面積は「底辺×高さ」×1/2で不思議ですか？

No.3 回答者： ゆきyuki 回答日時： 2017/08/20 09:43

簡単に言うと、正方形を思い浮かべてください。

底辺5✖️高さ5の正方形です。
正方形の中に正三角形を描くとします。
底辺5✖️高さ5の正三角形です。
正方形の中に正三角形を描くと、二つの三角形ができます。
つまり正三角形の面積と二つの三角形を足した面積は1:1の割合です。
つまい底辺✖️高さ✖️1/2ということになります。
四角形から要らないものを省くから1/2ということになります。
理解しずらかったら申し訳ないです。

No.2 回答者： head1192 回答日時： 2017/08/20 09:42

①てっぺんの頂点から底辺に垂線を下ろす。

　これは（高さ）になる。

②（底辺）を垂線との交点で分割する。
　それぞれ[左底][右底]と名付ける。（便宜的に）

③（高さ）×[左底]、（高さ）×[右底]を二辺とする２つの長方形を考える。

④それぞれの長方形は三角形の辺によって対角線上で分割される。
　対角線上で分割されるのだから二等分される。

⑤以上の結果から、三角形の部分だけの面積は
　（高さ）×[左底]×１／２　＋　（高さ）×[右底]×１／２
　ここで[左底]＋[右底]＝（底辺）だから
　（高さ）×（底辺）×１／２

文だけでは訳が分からないので図を描きながら進めてみてください。

No.1 回答者： 1ユーザ 回答日時： 2017/08/20 09:39

＞なぜ三角形の面積は底辺×高さ×1/2なのでしょうか？

その三角形をコピーして180度回転させて上辺のどっちかに合体させてできる平行四辺形
の面積の半分だから。

とも言えます。まぁ考え方次第でいろいろ言えるので唯一な解ではありませんが。

ボールの話は聞いたことないので触れないでおきます