位相とは？

Question

複素解析の本に
『複素数の絶対値の性質から明らかなように、複素数z, z'に対してd(z,z') = | z' - z | とすれば、dはＣ上の'距離関数'を与える:
(M1) d(z, z')≧0; d(z, z') = 0 は z = z' の時に限る
(M2) d(z, z') = d(z', z)
(M3) d(z, z'') ≦ d(z, z') + d(z', z'')
したがってＣは距離空間となって、通常の方法で位相が定義され、それを元に極限、連続性などの議論を進めることが出来る。』

とあったのですが、位相ってなんですか？

実は前にもちょっと似た質問をしたことがあってその時はトポロジーの和訳、くらいに思っていたんですが、
この文脈からするとやっぱり分かってない事を改めて認識させられました。

「位相とは」について教えてください。

noname#1499 · Accepted Answer

[位相の定義］

Ｓを一つの空でない集合とする。Ｓの部分集合系Ｄが次の３つの条件をみたすとき、ＤはＳに１つの位相構造を定めるという。簡単に、ＤはＳにおける１つの位相であるという。

(1)　Ｓ∈Ｄ　および　Φ∈Ｄ
(2)　Ｙ_1∈Ｄ、Ｙ_2∈Ｄ　ならば　Ｙ_1∩Ｙ_2∈Ｄ
(3)　Ｙ_λ：λ∈Λ　をＤの元から成る任意の集合族とすれば｛∪Ｙ_λ：λ∈Λ｝∈Ｄ

［位相空間の定義］

また1つの位相構造の定められた集合Ｓ、つまり、１つの位相Ｄの与えられた集合Ｓを位相空間という。形式的にいえば集合Ｓとそこにおける１つの位相Ｄとの組（Ｓ、Ｄ）である。Ｄを位相空間の位相ともいう。位相空間（Ｓ、Ｄ）に対して集合Ｓを台集合という。Ｓの元を位相空間（Ｓ、Ｄ）の点といい、Ｓの部分集合をそのまま（Ｓ、Ｄ）の部分集合とよぶ。

［開集合の定義］

（Ｓ、Ｄ）を１つの位相空間とするとき、Ｄに属するＳの部分集合をこの位相空間の開集合ないし開集合系という。

っととりあえず定義だけならべてみました。レスが多くてあまり見ていませんが、下の補足からするとまだ集合と位相の話しを習っていないようなので「集合・位相入門」：岩波書店：松坂和夫著をお勧めしておきます。距離空間の話しものっているので読みやすいかもしれません。数学の勉強をもしこれから先に進まれるのなら集合の話しは基盤となっているので読んでおいた方がよいかと思います。または、「多様体の基礎」：東大出版のはじめにも開集合のことは復習として書いてあるので参考にしてください。

prome · Answer

こんなサイトがありました。

http://www.math.meiji.ac.jp/staffs/ahara/Kgairon/
http://home.hiroshima-u.ac.jp/nyoho/mathenglish.html
http://www.libe.nara-k.ac.jp/~ikenaga/topology.html
http://infoshako.sk.tsukuba.ac.jp/~hamada80/math/math01.html
http://www.ma.noda.sut.ac.jp/~hiraba/ilect/index.html

数学を独学するのに役立つかもしれません。

参考URL：http://www.math.meiji.ac.jp/staffs/ahara/Kgairon/

motsuan · Answer

アドバイスではなくお詫びです。

専門化でもなんでもないので余計な書きこみをグダグダ書いて申し訳ないと思っていました。
しかしながら、昨日は酔っ払っていたようで、なんか書いたような気がして
みてみるとやっちゃっていました。（こころからお詫びいたします。）
しかも
> 固有状態というのは物理的には束縛された状態を表し 
> それ以外は束縛されていない状態を表すからです。
というのは間違いですね。
離散固有値を持つ場合は束縛された状態、
連続固有値を持つ場合は束縛されていない状態です。
いいたかったのは束縛された状態で
束縛されていない状態を表すことができるということです。
まともな関数というのは、物理的にいってしまえば、
エネルギーが有限な状態を表している
（２乗可積分）という意味です。

そして位相となにが関係あるかというと
離散固有値が無限個あるような系には
連続固有値の場合に出てくる関数の一部は含まれなくて
離散固有値の関数を無限個の和で表すとようやく
その状態を表すことができると
いったことをあらわすためには基本的に
極限操作をちゃんと扱わなくてはならない
そのためのお膳だてが位相空間なのではないの？ということです。

わたしもで独学で数学を勉強しています。
taropooさんのような方がいてくださると心強いです。
それでついついわけのわからんことを書きこみたくなってしまいました。
できごころです。許してください。

motsuan · Answer

No.13に対するお礼で位相とは距離のことかといわれいるのが気に掛かりました。
実際問題としては極限とそれを付け加えた空間をどれだけうまく扱えるかといったことが問題になると思います。

典型的な例かどうかわかりませんが
関数空間である演算子に対して無限個の離散固有値をもつ場合に
その固有関数をもちいて、まともな関数をすべて表すことができる（無限個の和もあり）
というのは不思議でした。固有状態というのは物理的には束縛された状態を表し
それ以外は束縛されていない状態を表すからです。こういう場合の
集合の概念は重要で、無権個の固有関数で表現できるかなどは
極限をどう扱うかによると思います。

距離という概念（線形空間的なもの）より
むしろ極限を考えるときにどんどん近づくというのを集合の包含関係に
置き換えて精密化したというのが本当のところだと思います。
極限の定式化という意味ではそれを超越的に記述する（極限をどんどんではなく
どんな場合でも適当なナンチャラが存在する）方法論で
数学オンチの立場から言わせてもらえばそのための言葉を勉強しているに過ぎないのではないでしょうか？

もっといえばご自分で位相空間論的な立場で問題意識をもたない限り、
距離空間の一部の性質の抽象化にしか過ぎないのではないでしょうか？

noname#1499 · Answer

自己レスというより訂正です。

＞promeさんの補足の通りＳの濃度は規定していません。Λもその通りです。

ＳではなくΛの濃度です。有限でも無限でもいいです。
回答は以下の本を参考にしています。

参考URL：http://www.iwanami.co.jp/cgi-bin/qsearch

noname#1499 · Answer

私は数学を専門にしていないのであまり細かいことはわかりませんが（＾＾；

>> したがってＣは距離空間となって、通常の方法で位相が定義され 
> 
>という記述ですが、この場合集合ＳがＣに相当しますよね？ 
>Ｄとしては例えばどんなものが考えられるのですか

そうですね。ＣはＳに相当します。
私を含めて距離空間と位相空間がごっちゃになっているかも知れません。（＾＾；
直感的にはＤに相当するものはｄだと書きたいのですが、ＤはＳの部分集合系なので本当は違います。でも大体あっています。上の質問の場合ｄでよいです。

(M1) d(z, z')≧0; d(z, z') = 0 は z = z' の時に限る 
(M2) d(z, z') = d(z', z) 
(M3) d(z, z'') ≦ d(z, z') + d(z', z'')　：三角不等式 

で定義されるｄ「距離関数」は暗黙裡にｄはＳ（１つの空でない集合）で定義された２変数実数値（ｚ：実数値）関数、Ｓ×Ｓから実数Ｒへの写像であるということが考えられています。今の質問の場合だとｚを複素数としてd(z,z') = | z' - z | と定義しているので、ｄはＲへの写像となってます。（Ｓ、ｄ）を距離空間（Ｓ、ｄ）といいます。略して距離空間Ｓとも書きます。（Ｓ、ｄ）においてｄを距離と言います。

本当はＳの以下の条件をみたす部分集合系Ｄ_d（距離空間（Ｓ、ｄ）を与えている）を定義して、距離空間（Ｓ、ｄ）にはいつも位相Ｄ_dが付随していると考えます。ですから位相空間は（Ｓ、Ｄ_d）です。このＤ_ｄを踏み台にして、距離空間（Ｓ、ｄ）を位相空間とみなします。（ただし、離散位相空間・・・ＤをＳの部分集合全体からなる集合系としたものです）

＊条件＊
（Ｓ、ｄ）を一つの距離空間として、aをＳの任意の1点、εを任意の正の実数
集合Ｂ（a；ε）＝{ｘ｜ｘ∈Ｓ、ｄ（a、ｘ）＜ε}：球体
を定義して、Ｓの空でない部分集合Ｙが∃ａに対しＢ（ａ；ε）⊂ＹとなるＢが存在するような部分集合Ｙの全体および空集合からなる集合系をＤ_dとする

こんなものでよろしいでしょうか？・・・ゼイゼイ
promeさんの補足の通りＳの濃度は規定していません。Λもその通りです。

prome · Answer

>> したがってＣは距離空間となって、通常の方法で位相が定義され 
>
>という記述ですが、この場合集合ＳがＣに相当しますよね？ 
>Ｄとしては例えばどんなものが考えられるのですか？ 
>（こんな質問してる事自体分かってない事を露呈しているのかな？） 

inukoroさんが答えられるのかもしれませんが、ちょっと横から。
どうしても理解したいのなら、専門書をひもとくか、
御自分で考えられた方がいいのでは？数日かけて。
あるいはさらっと流しておくか。

大学レベルの数学関係の本にはよくこういう表現があります。
文中で深く論じることが、本来の目的から逸脱するとか、
（この場合だと複素解析がメインだから）
あるいは知っている人には退屈する議論になるなどの理由で、
一言でさらっと流してしまう。
私もそうでしたが、初心者にはこれがわからない。
詰まってしまうんですね。
私はさらっと流してしまったクチです。
位相の講義でもっと勉強して理解しようとしました。
でないとメインの複素解析が進まなくなるから。

>それと、定義は明確になったとは言いつつ１つ分からない記号がありました。 
>
>> λ∈Λ 
>
>ってどう言う意味ですか？

これは添字集合というものです。例えばn個の集合Y_1,Y_2,...,Y_nを表現する時、
S={1,2,...,n}として、Y_i(i∈S)と書く方法です。この時Sを添字集合といいます。
ここで書かれている添字集合Λは、ある特定の集合を示しているのではありません。
集合が有限個なら上記の通りで、無限個例えば自然数の個数と同じだけある
集合を表現する時は、Ｎ（印刷物ではよく太字のＮになってます）を
自然数全体の集合とすると、Y_n(n∈Ｎ)と書きます。

なぜΛの文字を使うかは知りませんが、Ｎだと自然数、Ｒだと実数、
Ｃだと複素数、と暗黙のうちにそう解釈されるので、他の用途にあまり使わない
Λの文字を使っているのではないか、程度の認識しかありません。
多くの文献でΛを使っているので、数学を専門にやっている人は、
黙ってΛと書いても任意の添字集合だな、と理解します。

添字集合のことは集合論の本に書いてあると思います。
集合論は深入りすると結構大変ですが、
集合の濃度についてはさらっと勉強された方がいいかと思います。
実はinukoroさん記述の位相空間の定義の３つ目は、添字集合Λの濃度に
依存せず、成り立つということを言っているので。
（濃度とは集合の元の個数です。1,2,3と数えられない無限集合の場合
「個数」というと語弊があるのであえて「濃度」という用語を使います）

prome · Answer

>>> ａ）有限個の開集合の積集合はまた開集合 
>>> ｂ）任意個の開集合の和集合はまた開集合 
>
>「ａ）で言う所の開集合って何？」となると、Ｘの部分集合についてそのまた
>部分集合を考えなきゃいけなくて、定義が再帰的に見えるのですが。 
>やはり開集合を定義するには開集合と言う概念を使わずに定義する必要がある
>ように思えます。 

いえいえ、このａ），ｂ）の部分は、ユークリッド空間の開集合の性質を
説明したときに書いたものです。
混乱しないように書くと、

ａ）有限個のΘの元の積集合はΘの元
ｂ）任意個のΘの元の和集合がΘの元

です。これにｃ）φ∈Θ，Ｘ∈Θという条件を付加して、
この３つの性質を持つΘをＸの位相と定義します。
そしてΘの元をＸの開集合と呼びます。
これでいいでしょうか？

現代数学の多くは定義や性質を抽象的に述べているので、字面だけを追っていると
何を言ってるかわかりません。しっかりと自分の頭で考えて、自分なりのイメージを
持たないと理解できません。本を読むのに１時間かかったとすると、自分の頭で
考えて理解するのに４～５時間、場合によっては何日もかかるつもりでいた方が
いいでしょう。特に最初のころは慣れてないので。

位相の定義を作った人だって、きっと２０～３０分で考えついたのではないでしょう。
先人の蓄積の上に自分の考えを重ねて、何日も何ヶ月も考えたのではないでしょうか。
もっとも数学者の中には稀有の大天才がいるので、一瞬で思いついたなんていう人も
いるのでしょうけどね。

>位相についてはそれ自体を突き詰める気はなく、何かと出てくる言葉として違和感なく
>接する事が出来れば程度に思っています。

それでしたら、あまり深入りせずにさらっと流せばいいのでは？
これまでのレベルの議論をするでしたら、本格的な位相空間論の本を読んでください。
読まずに位相の議論をしても、たぶん空回りでしょう。
私は読んでいらっしゃるとばかり思っていたので、上記のａ），ｂ）の部分で
端折って書きました。手元に本があるので端折っても理解していただけると．．．

prome · Answer

鋭い突っ込みに少しタジタジのpromeです。
一度実家へ帰って大学時代のテキストを見てみますが、
とりあえずわかる範囲で回答を。

>> 一般の集合Ｘで上記のａ），ｂ）の性質を持つＸの部分集合を、 
>> Ｘの開集合と定義します。 
>> φ（空集合）とＸ自身もこの２つの性質をもちます。 
>
>開集合の定義の中に開集合と言う言葉が出てきてはまずいんじゃないでしょうか？ 

Ｘの開集合の定義：上記ａ），ｂ）の性質を持つＸの部分集合
ですから、まずくはないです。

>それと、仮に開集合と言う言葉が定義されたとしてそれが上のａ），ｂ）を満たして
>いるとするならば 
>
>> 開集合の族をΘとすると、 
>> １）φ∈Θ，Ｘ∈Θ 
>> ２）有限個のОn∈Θに対し、∩Оn∈Θ 
>> ３）任意個のОλ∈Θに対し、∪Оλ∈Θ 
>
>は当然成り立つ条件なんじゃないですか？ 

これは私の書き方がまずかったのでしょう。この部分は改めて位相空間の定義を
書いたものです。「上記１）～３）の性質を持つΘをＸの位相という」というのが
位相空間の定義です。

現代数学の抽象化のパターンとして、「ユークリッド空間の○○は△△なる性質
を持つ」場合、一般の集合で「○○の定義を△△とする」というのがよくあります。
今の場合、○○が開集合で、△△が条件ａ）とｂ）です。

>それ以前に、上の「Ｘ自身もこの２つの性質をもちます。 」ってどう言う意味ですか

これは私の間違いです。「Ｘ自身とφもΘの元とします」と書くのが正解でした。

ところでtaropooさんはどういう本で数学を勉強されているんでしょうか？
私は大学時代に、菅原正博著「位相への入門」朝倉書店刊で勉強しました。
図解がほとんど（全く？）なくて、当時の私にはとっつきにくい本でしたが、
抽象化に慣れる意味ではいい本だと思います。
ただ理解のためには図解入りの本をサブで読んだ方がいいかもしれません。

prome · Answer

>>それとそもそもここでいう開集合ってどう定義されたものですか？ 
>>私は距離に基づいて定義された開集合しか知らないので。 
>
>これ、教えてください。イメージは良いので定義を。 

まずユークリッド空間の開集合から行きます。１次元ユークリッド空間Ｒは、
ご存知の通り実数の数直線です。
Ｒにはユークリッド距離（いわゆる通常の距離です）が存在するので、
点ｘ∈Ｒのε近傍を（ε＞０とする）
Ｖε（ｘ）＝｛ｙ｜ｙ∈Ｒ，｜ｘ－ｙ｜＜ε｝
と定義します（簡単にいうとｘを中心とした半径εの円の内部です）。
Ｒの部分集合（ａ，ｂ）＝｛ｘ｜ａ＜ｘ＜ｂ，ａ，ｂ∈Ｒ｝を考えた時、
（ａ，ｂ）の各点は、十分小さなε近傍を作ってやると、
必ずＶε（ｘ）⊂（ａ，ｂ）になります。
こういう性質を持つＲの部分集合を開集合といいます。
（距離に基づいた定義をご存知なら、わかりますよね？）

ではＲの開集合はほかにどういう形のものがあるかというと、
１）（ａ，ｂ）
２）（－∞，ｂ）
３）（ａ，∞）
４）（－∞，∞）
５）φ
です。これがＲの開集合のすべてです。

Ｒの開集合はほかにどういう性質を持つかというと、
ａ）有限個の開集合の積集合はまた開集合
ｂ）任意個の開集合の和集合はまた開集合
です。ａ）で任意個の積集合が開集合にならない例は
ｎを自然数とした時、可算無限個の積集合∩（－１，１／ｎ）＝（－１，０]
です。ｂ）は上記の開集合の定義（ε近傍云々の部分）から証明できます。

ここからが現代数学特有の抽象化です。
一般の集合Ｘで上記のａ），ｂ）の性質を持つＸの部分集合を、
Ｘの開集合と定義します（ここにはもはや「開いた」というイメージは
ありません）。φ（空集合）とＸ自身もこの２つの性質をもちます。

ここから位相空間の定義、すなわち、開集合の族をΘとすると、

１）φ∈Θ，Ｘ∈Θ 
２）有限個のОn∈Θに対し、∩Оn∈Θ 
３）任意個のОλ∈Θに対し、∪Оλ∈Θ 

なる性質を持つとき、ΘをＸの位相といい、位相空間（Ｘ，Θ）
あるいは単に位相空間Ｘという。

が出てきます。

位相とは？

[位相の定義］

この回答への補足

こんなサイトがありました。

アドバイスではなくお詫びです。

No.13に対するお礼で位相とは距離のことかといわれいるのが気に掛かりました。

自己レスというより訂正です。

私は数学を専門にしていないのであまり細かいことはわかりませんが（＾＾；

>> したがってＣは距離空間となって、通常の方法で位相が定義され

この回答への補足

>>> ａ）有限個の開集合の積集合はまた開集合

この回答への補足

鋭い突っ込みに少しタジタジのpromeです。

この回答への補足

>>それとそもそもここでいう開集合ってどう定義されたものですか？

この回答への補足

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