放物線は2変数関数なんでしょうか それならばなぜ今までの二次関数は2変数関数として習ってこなかったの

放物線は2変数関数なんでしょうか
それならばなぜ今までの二次関数は2変数関数として習ってこなかったのでしょうか

例 f(x)=x^2
など。

No.7 ベストアンサー 回答者： uyama33 回答日時： 2018/02/25 08:16

多くの場合は

２変数函数というと
Z=F(x,y)
のようになっていて
２個の変数　ｘ、ｙ　の値は互いに関係なく自由に取れる。
様になっています。
もちろん定義域内から値を選ぶ必要がありますが、
ｘ、ｙ　の間に特別な関係が成立しない場合がほとんどです。

さて、
放物線
y=x^2 (x^2 　は　ｘの２乗　の意味です。)
変形して
y-x^2＝０
となりますが、

これから考えられる２変数函数
Z=F(x,y)＝y-x^2
において、
２個の変数　ｘ、ｙ　の値は自由に取れるので、その具体例としては、
１＝１－０^2
5=6-1^2
のような結果が得られます。

２つの変数の組
(0,1) に対して１を対応させる。
(1,6)に対しては５を対応させる。
こんなふうに、
式　y-x^2　に現れる変数　ｘ、ｙ　の値は自由に取って
その式の値を計算します。
これが普通の２変数函数の考え方です。

それでは、絶対に　２変数函数　とは言えないのかと聞かれたら
定義域に強い制限を加えた２変数函数で、ｚの値が常に０になっている。
ということが出来ると思います。
ここでの強い制限とは
D={(x,y)|(x,y)はR^2の要素　且つ　 y=x^2　が成立する}
を定義域とする２変数函数である。
グラフは３次元空間R^3のなかの部分空間R^2に入っている放物線
G=｛(x,y,z)|z=0, y=x^2｝
です。
無理やり書けば、２変数函数
Z=y-x^2　（定義域は　D={(x,y)|(x,y)はR^2の要素　且つ　 y=x^2　が成立する}　）
とかけないことも無い。

普通は、
２個の変数　ｘ、ｙ　の値は自由に取れる。
しかも独立に変化させることが重要なので、
２変数函数とは言わないで、
陰函数表示　と言います。

また、方程式　f(x,y)=0
となっているのは、
２つの変数は自由には変化できないで
関係式　f(x,y)=0　を満たすように選ばなくてはいけません。
と言う意味です。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/02/25 03:30

これは「陰関数表示」といって、関数ではなく方程式です。

これを解くことでxとyの関係を求めます。

例えば

x^2+y=0 → y=-x^2

これは放物線ですね。

No.5 回答者： metabolian 回答日時： 2018/02/25 01:27

例えば、y=x^2の場合、ｘを一つ決めてやるとyがそれに対して1つ決まりますが、

「y=x^2のグラフを第1象限のほうに45度倒したグラフ」なんかを考えた場合、
あるxに対して、2つのyの値が決まるときがあり、それは「1変数関数」とは言えなくなります。

また、円・楕円のように閉じた曲線の場合も同様です。
半径1の円の場合、x^2+y^2-1=0 ⇒y=±√(1-x^2)
と表されますが、「1変数関数」として扱う場合、
y>=0とy<0に分けたりする必要があり、複雑になります。

No.4 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/02/25 00:45

訂正

1変数の関数では、軸がy軸に平行な放物線と、1本の漸近線がy軸に平行な双曲線以外の2次曲線は表現することができません。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2018/02/24 23:50

放物線は「xy平面上」の曲線ですから、当然 x と y が変数です。

　y = ax^2 + bx + c
ですから、
　f(x, y) = y - (ax^2 + bx + c) = 0
ですよ。

No.2 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/02/24 23:36

f(x)=x²

は1変数の関数です。
f(x, y)=x²-y
は2変数の関数です。この時
f(x, y)=0
は放物線です。
1変数の関数では、軸がy軸に平行な放物線と、1本の漸近線がy軸に平行な双曲線以外の2次曲線しか表現することができません。
軸が傾いた放物線、2本の漸近線がy軸に平行でない双曲線、円や楕円、2本の直線はいずれも2次曲線ですが、1変数関数で表現することはできませんが2変数2次関数=0の形なら表現することができます。

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2018/02/24 22:29

変数は一個です。

この回答へのお礼

この形は2変数関数の形ではないということでしょうか？

お礼日時：2018/02/24 22:30