計量テンソルの非対角成分

一般相対論の計量テンソルの非対角成分は
gμν＝gνμ
であることが証明されていると、ある本で読みました。
（その本は、ただ等しくなるとしか書かれていません。）

なぜ、等しくなるのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 

  この動画を見ると、「WIMPが発見されない場合、重力理論（一般相対論）を見直す必要があるかもしれない。」と言われています。
  すると、
  gμν≠gνμ
  と定義した数学（微分幾何）を使った重力理論を作れば上手くいく可能性があるのではないでしょうか？
  
  
  

    補足日時：2019/03/31 18:10

No.2 ベストアンサー 回答者： han-ka-2 回答日時： 2019/03/31 14:52

No.1 さんのご回答を式にすると，基底ベクトルを g_i, g^i とした（この g は太字・ベクトル）とき，計量テンソル成分 g^{ij}, g_{ij} （この g はローマン）は

　　g^{ij} = g^i ・ g^j,　　g_{ij} = g_i ・ g_j
と定義されているので，内積の順番を入れ替えても定義は変わらないので
　　g^{ij} = g^{ji},　　g_{ij} = g_{ji}
が成立する・・・というのを文章にしてくださったのが No.1 さんのご回答。なお，計量テンソルと基底ベクトルとの関係が
　　g_i = g_{ik} g^k
などとなって，基底ベクトルの共変・反変成分間の直交性から上式になると，ものの本に書いてあったような気がします。参考まで。

この回答へのお礼

有難う御座います。

内積の順番を入れ替えた場合、
gμν≠gνμ
と定義した数学（微分幾何）は存在するのでしょうか？

イメージ的には、
可換ゲージ理論→非可換ゲージ理論
に拡張するような感じです。

お礼日時：2019/03/31 18:02

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/03/31 12:25

証明というより定義。

定義がμとνに対して対称なので、
内積の交換法則が成り立つなら対称になる。

計量テンソルは純粋に数学の産物なので
微分幾何の教科書で定義を調べるのが
よいでしょう。

この回答へのお礼

有難う御座います。

すると、
gμν≠gνμ
と定義した場合でも成立する数学（微分幾何）は作れるのでしょうか？
そのような微分幾何は存在するのでしょうか？

お礼日時：2019/03/31 18:01