A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
高校レベルのやり方ですぐにわかります。
y=e^x+e^(ーx)
dy/dx=e^xーe^(ーx)
dy/dx=0なるxはx=0の時で、
x<0でdy/dx<0であるから単調減少。
x>0でdy/dx>0であるから単調増加となる。
d²y/dx² = e^x+e^(ーx)はすべてのxについて正であるから
全領域について下に凸になる。
ということで、No.3さんの青いグラフに似たグラフになるが、
頂点の座標は(0,1)ではなく、(0,2)となります。
No.3
- 回答日時:
y=e^x+e^(ーx) という関数を(1/2)倍すると、y=(e^x+e^(ーx))/2=cosh x
となり、双曲線関数という名前のついた関数になるので、これをまず説明して、
その2倍がy=e^x+e^(ーx)であるという順番で説明する。
https://mathtrain.jp/hyperbolic に高校生向けの解説とグラフがあるので一部を引用する。
双曲線関数と呼ばれる重要な関数が以下の式で定義される:図を見よ。
sinh xは双曲線サインまたはハイパボリックサイン(hyperbolic sine)という。
cosh xは双曲線コサインまたはハイパボリックコサインという。
tanh xは双曲線タンジェントまたはハイパボリックタンジェントという。
y=cosh x は x=0 で最小値 1 を取る。
cosh x を微分すると、y' =sinh x となる。x>0ではプラスだから、y=cosh x は増加関数である。
x<0ではy' =sinh xはマイナスだから、y=cosh x は減少関数である。
y' =sinh x を微分すると、y'' =cosh x となる。y'' =cosh x は常にプラスだから、y=cosh x は
下に凸の曲線である。
y=e^x+e^(ーx)はx=0 で最小値 2 を取る下に凸の曲線である。
No.2
- 回答日時:
y = (e^x) + (e^-x) でいいのかな?
グラフの凹凸とは、d²y/dx² の正負のこと。
d²y/dx² = y > 0 だから、「下に凸」。
下に凸 が凹なのか凸なのかは、知らんけど。
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