No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>正しくは、1/(5+4cosx) です。
>置換は、tan(x/2)=t と置きました。
そうなると話は違ってくる。
tan(x/2)に置換する前にやるべきことがある。
∫[0, 2π] 1/(5+4cosx) dx
=∫[0, π] 1/(5+4cosx) dx + ∫[π, 2π] 1/(5+4cosx) dx
t=tan(x/2)とすると、積分範囲は0~πが0~∞、π~2πが-∞~0に変わる。
cosx=(1-t^2)/(1+t^2)
dt/dx=1/(2(cos(x/2)^2))=(1+t^2)/2
dx=2/(1+t^2) dt
=∫[0, ∞] 1/(5+4((1-t^2)/(1+t^2))) (2/(1+t^2)) dt + ∫[-∞, 0] 1/(5+4((1-t^2)/(1+t^2))) (2/(1+t^2)) dt
=2∫[0, ∞] 1/(5(1+t^2)+4(1-t^2)) dt + 2∫[-∞, 0] 1/(5(1+t^2)+4(1-t^2)) dt
=2∫[0, ∞] 1/(9+t^2) dt + 2∫[-∞, 0] 1/(9+t^2) dt
t=3tanuとすると、積分範囲は0~∞が0~π/2、-∞~0がπ/2~πに変わる。
dt/du=3/(cosu)^2
dt=3/(cosu)^2 du
=(2/9)∫[0, π/2] 1/(1+(tanu)^2) (3/(cosu)^2) du + (2/9)∫[π/2, π] 1/(1+(tanu)^2) (3/(cosu)^2) du
=(2/3)∫[0, π/2] 1/(1/(cosu)^2) (1/(cosu)^2) du + (2/3)∫[π/2, π] 1/(1/(cosu)^2) (1/(cosu)^2) du
=(2/3)∫[0, π/2] du + (2/3)∫[π/2, π] du
=(2/3)u[0, π/2] + (2/3)u[π/2, π]
=π/3 +π/3
=(2/3)π
No.1
- 回答日時:
cosxを置換したら、質問にあるようにおかしなことになるのでcosxを置換しちゃいけないね。
ていうか、 ∫[0, 2π] 1/5+4cosx dx だったら、普通に積分すればいいんじゃないのかな。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 ∫[-π,π]1/(2+cosx) dxの積分はできて、 ∫[0,2π]1/(2+cosx) dxの 3 2023/02/06 12:08
- 数学 写真について質問なのですが、 ①の図の面積Sを求めるとき、②と③の図の面積、つまりS=S2+S3で求 4 2023/04/27 17:20
- 物理学 フーリエ変換の積分 1 2022/07/04 08:58
- 数学 置換積分 3-x=tで、添付の置換積分を行うと、なぜか答えが2倍になってしまいます。 先生からは答え 1 2022/06/05 20:05
- 数学 積分計算 3 2023/07/31 16:29
- 数学 積分の計算にてこづっています。2曲線の面積を求める問題なのですが [-1/2cos2x+cosx]上 4 2022/06/25 12:55
- 数学 三角関数の範囲について ∫1/√(a²-x²)dxをx=a・sin(t)と置いて置換積分する時tの範 3 2022/05/05 04:13
- 数学 広義積分 3 2022/12/07 12:29
- 数学 重積分、累次積分の問題です。 範囲の書き換えがわかりません。 グラフを書いてみるとこのような範囲にな 4 2023/01/09 16:05
- 数学 重積分の積分領域について D={(x,y)∈R^2 | 0≦y≦x≦∞} で表される領域で、∫[0→ 3 2023/05/05 23:33
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
プロが教えるわが家の防犯対策術!
ホームセキュリティのプロが、家庭の防犯対策を真剣に考える 2組のご夫婦へ実際の防犯対策術をご紹介!どうすれば家と家族を守れるのかを教えます!
-
∫[0→2π]3/(5-4cosx)dxを求めよ。 という問題なのですが、自分で考えたところ不定積分
数学
-
1/5+4cosxの0→πまでの積分でtanx/2=tと置いたのですがどうやって範囲を変えたらいいの
数学
-
積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?
数学
-
-
4
積分における置換の際の積分範囲は?
数学
-
5
∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません
数学
-
6
sinθのθの範囲はなんで0≦θ≦π/2と
数学
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
cos π/8 の求め方
-
数3の極限について教えてくださ...
-
cos(10π/3)は計算可能ですか?
-
重積分の変数変換後の積分範囲...
-
複素数のn乗根が解けません
-
極座標A(2,π/6)となる点を通り...
-
扇形の図形に長方形が内接
-
重積分について
-
1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について
-
数学の難問です。わかりません。
-
次の複素数を極形式で表せ。偏...
-
y=cosx(0≦x≦π/2)のy軸周りの回...
-
離散コサイン変換に関して、な...
-
1/(sinx+cosx)の積分
-
複素平面の問題
-
数学
-
逆三角関数の方程式の問題です...
-
区間[0,1]で連続な関数f(x)に...
-
2重積分 変数変換をする場合 ...
-
sin(sinx)=cos(cosx)のグラフに...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について
-
逆三角関数の方程式の問題です...
-
数3の極限について教えてくださ...
-
cos π/8 の求め方
-
数学IIIの積分の問題がわかりま...
-
位相がよく分かりません。 cos(...
-
積分計算(定積分)
-
複素数のn乗根が解けません
-
arccos0の値ってなぜπ/2なんで...
-
sinθ・cosθの積分に付いて
-
扇形の図形に長方形が内接
-
1/5+4cosxの0→2πまでの積分で、...
-
cosx<0(0≦x≦2π)の範囲を教えて...
-
五芒星の角(?)の座標
-
重積分について
-
cos(10π/3)は計算可能ですか?
-
y=cosx(0≦x≦π/2)のy軸周りの回...
-
xsinx-cosx=0 の解と極限
-
回答者どもがなかなか答えられ...
-
1/(sinx+cosx)の積分
おすすめ情報
すみません。書き方が良くなかったです。
正しくは、1/(5+4cosx) です。
置換は、tan(x/2)=t と置きました。
(すると、xが0→2πなのでtが0→0??となってしまいました)。
書き方が悪く、すみません。