0≦x≦πにおける Ｙ=2sinX ＋ 3cosXの最大値、最小値の求め方を教えてください

0≦x≦πにおける
Ｙ=2sinX ＋ 3cosXの最大値、最小値の求め方を教えてください

No.2 回答者： Dr-Field 回答日時： 2020/10/06 02:45

三角関数の合成をしましょう。

Y＝2sinX ＋ 3cosX
＝√13{(2／√13)sinX＋(3／√13)cosX}
＝√13{sin(X＋α)}
ただし、αについては cosα＝2／√13、sinα＝3／√13 なる角度であり、また、y＝(3/2)x とx軸のなす角度であり、cosα＞0、sinα＞0より、第一象限の角度である。
0≦X≦πだから、α≦X＋α≦α＋π であり、添付の単位円の赤い太い線を動くので、－3／√13≦sin(X＋α)≦1

答え：－3＜Y≦√13　最大値 √13　最小値 －3

No.1 回答者： cametan_42 回答日時： 2020/10/06 02:41

Y = 2sin(X) + 3*cos(X) = √(2^2+3^2) * sin(X + δ)

つまり、振幅√(2^2+3^2)≒3.605551275463989...ってのがこの三角関数の最大値であり最小値。
言い換えると3.605551275463989...ってのが最大値であり、-3.605551275463989...ってのが最小値。・・・なんだけど、あくまで理論値で、最小値を取るのはx = Πの向こう側。要するに2*sin(Π) + 3*cos(Π)が最小値を取る。 => -3 が最小値

最大値:√13
最小値: -3