A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
↓これの続きかな?
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11962991.html
前回は、f’(x) が単調な関数だったので、
接点の x座標 p, q が異なる
⇒ f’(p) と f’(q) は異なる
⇒ x=p での接線と x=q での接線は異なる
と言えたのです。
一般の関数 f(x) については、
接点が異なれば接線が異なるとは限りません。
異なる接点を持つひとつの接線を共通接線といいますが、
y = ax+b が y = f(x) の共通接線である条件は
f(x) - (ax+b) = 0 が復数の重解を持つことです。 ←[*]
f(x) が 3次以下の多項式なら、重解は 1組以下ですし、
f(x) が 4次関数なら、2組の重解を持つ場合があります。
多項式と限らない一般の関数 f(x) について
[*] を言い換える他の表現は思いあたりません。
No.1
- 回答日時:
おっしゃる通り、至る所滑らかな関数f(x)について、
どんな(a,b)についても方程式 f(x)=ax+b が「重解を2個持つ」ことはない
は、グラフy=f(x)に2点で接する接線が存在しない必要十分条件ですね。
その両辺をxで微分して、
どんなaについても、方程式 f'(x)=a が解を高々1個しか持たない
(言い換えれば、 f'が真に単調である)
は十分条件ですし、さらに両辺を微分して、
方程式 f''(x)=0 が解を持たない
も十分条件ですよね。
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