No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1)
x²/16 - y²/4=1・・・①
y=2x+k・・・②
②を①に代入して整理すると、
15x²+16kx+4k²+16=0・・・③
共有点を持たない条件は、判別式 D/4<0
D/4=(8k)² - 15(4k²+16)
=4k² - 240・・・⓸
よって、
4k²- 240<0
-2√15 < k < 2√15
(2) 接するときは、判別式 D/4=0
⓸より、
4k² - 240=0
k=±2√15
接点のx座標は③において、解の公式より
x= {-8k±√(D/4)}/15
=±(16√15)/15
②に代入
x=(16√15)/15 のとき(k= -2√15 のとき)
y=2{(16√15)/15} - 2√15=(2√15)/15
x= - (16√15)/15 のとき(k=2√15 のとき)
y=2{-(16√15)/15} + 2√15= -(2√15)/15
したがって、接点の座標は、
k=2√15 のとき、( - (16√15)/15 , - (2√15)/15)
k=-2√15 のとき、( (16√15)/15 , (2√15)/15)
(3) 判別式 D/4>0 より、k< - 2√15 , 2√15<k ・・・⑤
A、Bのx座標をそれぞれ、α、β(α<β)とすると、解と係数の関係を用いて、
③より、
α+β= - 16k/15
αβ=(4k²+16)/15
これより、
(β - α)²=(α+β)² - 4αβ
=(-16k/15)² - 4(4k²+16)/15
=(16/15)²k² - (16/15)(k²+4)
=(16/15){(16/15)k² - (k²+4)}
=(16/15){(1/15)k² - 4}
条件より、
β - α=8/15
よって、
(8/15)²=(16/15){(1/15)k² - 4}
(1/15)k² - 4=4/15
k² - 60=4
k²=64
k=±8
これは⑤を満たす。
No.1
- 回答日時:
>(1)共有点を持たない
ということは、連立方程式が実数解を持たないということです。
x^2 /16 - y^2 /4 = 1 ①
と
y = 2x + k ②
を連立させれば、②を①に代入して(めんどうなので 16倍する)
x^2 - 4(2x + k)^2 = 16
→ x^2 - 16x^2 - 16kx - 4k^2 = 16
→ 15x^2 + 16kx + 4k^2 + 16 = 0 ③
これが実数解を持たないためには、判別式が負であればよいから、
D/4 = (8k)^2 - 15(4k^2 + 16)
= 64k^2 - 60k^2 - 240
= 4k^2 - 240 < 0
より
k^2 < 60
よって
-√60 < k < √60
→ -2√15 < k < 2√15
>(2)接する時
これは③の判別式が 0 に等しいときなので
D/4 = 4k^2 - 240 = 0
よって
k^2 = 60
→ k = ±2√15
これを③に代入すれば
15x^2 ± (32√15)x + 256 = 0
→ 15[x^2 ± (32/√15)x + 256/15] = 0
→ 15[x ± (16/√15)]^2 = 0
よって
x = ± 16/√15 = ± (16√15)/15
>(3)異なる二つの共有点A,Bを持ち
これは③の判別式が正で、かつA、B のx座標を a, b とすれば、③が
15(x - a)(x - b) = 0 ④
と書けるということです。
判別式より
D/4 = 4k^2 - 240 > 0
よって
k^2 > 60
→ k < -2√15, 2√15 < k ⑪
④を展開すれば
15x^2 - 15(a + b)x + 15ab = 0
なので、これが③に等しいことから
16k = -15(a + b) ⑤
4k^2 + 16 = 15ab ⑥
かつ、「AとBの、それぞれのx座標の差が8/15となる」ことから
|a - b| = 8/15
今、a < b とすれば
b - a = 8/15 ⑦
この⑤~⑦の連立方程式を解けばよい。
⑦から
b = a + 8/15 ⑧
として⑤に代入すれば
16k = -15(a + a + 8/15) = -30a - 8
→ 30a = -16k - 8
→ a = -(8/15)k - 4/15 ⑨
これを⑧に代入すれば
b = -(8/15)k - 4/15 + 8/15 = -(8/15)k + 4/15 ⑩
⑨⑩を⑥に代入して
4k^2 + 16 = 15[-(8/15)k - 4/15][-(8/15)k + 4/15]
= (64/15)k^2 - 16/15
→ (4/15)k^2 = 256/15
→ k^2 = 64
→ k = ± 8
これはいずれも⑪の条件を満たす。
従って、求める k の値は
k = ± 8
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