確率の問題について質問です。 あるサッカーチームJの勝率は40%であるが、Ｑ選手がゴールを決めた試合

確率の問題について質問です。 あるサッカーチームJの勝率は40%であるが、Ｑ選手がゴールを決めた試合は勝率が80%に上がる。 Ｑ選手がゴールを決める確率を30%として、次の問いに答えよ。
(１)このチームＪが勝った試合でＱ選手がゴールを決めている確率はいくらか。


ベイズの定理を使って、答えは(80/100)×(30/100)÷(40/100)=3/5
となるらしいのですが、
(80/100)×(30/100)÷{(80/100)×(30/100)+(70/100)×(40/100)
という式で求めようとしたら、6/13となって答えが出ませんでした。どこが間違っているのでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/11/14 01:31

＞Ｑ選手がゴールを決める確率を30%として

Q 選手がゴールを決める試合が、全体の 30% のということかな？

全試合数を 100 として計算してみれば
・全体の試合数の 30％、つまり 30試合では、勝率が 0.8である。
　→　勝ちが24試合、負けが6試合
　→　Q 選手がゴールして勝った試合は24試合
・全体の勝率は 40％なので、 勝った試合数は 40試合。
ということです。

つまり、勝った40試合のうち、Q選手がゴールしているのは24試合なので、その確率は
　24/40 = 3/5


＞どこが間違っているのでしょうか。

あなたはどういう考えでその式を立てたのですか？
それを書いてもらわなければ、あなたの考えのどこが間違っているの指摘できません。

少なくとも「勝率40％」は全体の勝率であって、「残り70%（Q選手がゴールしない試合）の試合の勝率」ではありません。

この回答へのお礼

式が分かりにくくて申し訳ございません。(70/100)×(40/100)というのは、Q選手がゴールを決めないで(70/100)、試合に勝つ確率(40/100)です。ここだけ逆になっていました。
分母を、Q選手がゴールして勝利する確率+ゴールせずに勝利する確率としたつもりなのですが、(40/100)は全体の勝率なので式は立てられないのですね。
非常に助かりました。有り難うございました。

お礼日時：2021/11/14 07:31

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/11/14 03:45

#2です。

すみませんが、ちょっと訂正です。

ベイズの連中は「周辺確率の合計」のことを「周辺確率」と呼ぶようです。
一方、統計屋は各軸（着目している事象）に射影したときの確率分布の呼び名として使います。

私は統計屋なのでベイズの連中の呼び名はキライです。

ですが、郷に入れば郷に従えですから、あなたの解答には「周辺確率の合計0.3」なんて書かないで下さいね。

0.3は周辺確率です。

ああ、ややこしい。

この回答へのお礼

非常に参考になりました。有り難うございました。

お礼日時：2021/11/14 07:32

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/11/14 03:29

#2です。

前の投稿に書いた、

P(J勝ち｜Qゴール)＝P(J勝ち)P(Qゴール｜J勝ち)／周辺確率の合計

この式が理解できれば、

P(Qゴール｜J勝ち)＝P(J勝ち｜Qゴール)×周辺確率の合計／P(J勝ち)

と変形できるから、

P(Qゴール｜J勝ち)＝0.8×0.3／0.4

ですよね。

あなたの間違いは、最初の式を逆に立てているのですね。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2021/11/14 03:16

ベイズの定理は、

P(J勝ち｜Qゴール)＝P(J勝ち)P(Qゴール｜J勝ち)／周辺確率の合計

要は、イコールの左辺と右辺で条件付き確率が逆になっており、逆問題が解けるという点がミソです。

上記の式の右辺の分母は、分子の各事象の和になります。

P(J勝ち)P(Qゴール｜J勝ち)＋P(J負け)P(Qゴール｜J負け)

これは、勝っても負けても、Q選手がゴールしている確率で、0.3です。

つまり、この問題を整理した下表において、条件付き確率の0.6となっている部分を未知数にして、穴埋めを行う問題です。
既に答えを埋めていますが、太字が既知で細字が未知として、穴埋めしてみて下さい。