応力テンソルの不定性

適当な微小閉曲面Sを考え、この面全体にかかるx方向の力が
∫_{S} (σ_{xx},σ_{yx},σ_{zx})・dS
で与えられるとします(y,z方向についても同様)。
このとき (σ_{xx},σ_{yx},σ_{zx}) には∇×A (A : 任意のベクトル場)だけの不定性がありますが、この不定性は消せないのでしょうか？
仮にこれだけでは消せない場合には、消すためにどのような条件が必要ですか？

No.4 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2021/12/06 20:12

#2への補足ではSは閉曲面に限定すると仰ってましたが、

結局限定する必要のないものを応力と呼びたいという事なのですかね。

だとすれば、「閉でない曲面に加わる力」が何を意味するのか、決める所から始める必要があるでしょうね。(材料力学とは違って曲面上に物質がいるとは限らないのが厄介)

どう定義するのも自由ですが、2つの物質の界面Sに力が働くケースで、S上で積分したものがSに加わる力となるようにしたいのだとすると、それはご質問の式とは両立しないはず。



>実際例えばネオジム磁石だと0.5T程度の磁場を作り、これにより約1気圧のマクスウェルの応力が生じますが、ネオジム磁石を持ったからといってなにか痛みを感じたりなどはしないはずです。

マクスウェル応力は実際の物質が感じる力(応力)とは別物だし、何より磁石から力を受けないのは貴方の手が非磁性だから。

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2021/12/05 19:52

それはどんな性質を「応力としての性質」に含めるか次第の話になってしまうように思います。

どう考えるにしても対称テンソルである事(トルクの釣り合いに関係するので)は条件に入れるとは思いますが、他にこんな条件を課せばマクスウェルの応力になる、というような事を書いてあるのは読んだ記憶はないですね。考えられなくはないとは思いますけど。

この回答へのお礼

応力の定義としては一番スタンダードな定義を採用しているつもりです。
つまり、「微小面dSを考えた際、その面に働く力dfが面の法線ベクトルをnとしてdf = σndSとなるような量σ」を応力σとして定義しています。
この定義に従うと、マクスウェルの応力のように体積力から導かれたσ_{ij}はどうも本当の応力ではないように思えます。実際例えばネオジム磁石だと0.5T程度の磁場を作り、これにより約1気圧のマクスウェルの応力が生じますが、ネオジム磁石を持ったからといってなにか痛みを感じたりなどはしないはずです。
なので、σ_{ij}を本当の応力に補正するために∇×Aの不定成分があると思ったのですが、Aを決めるための境界条件のようなものは考えられないですかね？

お礼日時：2021/12/05 23:14

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2021/12/05 08:41

> 適当な微小閉曲面Sを考え

普通は閉曲面には限定しないので、最初から不定性云々という話は出てきません。

この回答へのお礼

書き忘れたのですが、体積力を変形していったら
F_{x} = ∫_{V} (∂σ_{xx}/∂x + ∂σ_{yx}/∂y + ∂σ_{zx}/∂z)・dS
のような形になるケース（例：ローレンツ力、今回はこのケースに限り考えたいのでSは閉曲面に限定されます）があります。
この際ガウスの定理から
F_{x} = ∫_{S} (σ_{xx},σ_{yx},σ_{zx})・dS
と変形できますが、σ_{ij}は応力としての意味を持つのかがわからなかったのです。

お礼日時：2021/12/05 09:14

No.1 回答者： han-ka-2 回答日時： 2021/12/05 08:05

30年以上材料力学を教えてきましたが，申し訳ない，勉強不足なのか，その不定性そのものを全く知りません。

ただ，σ_{yx}, σ_{zx} は σ_{xx} が生じている面とは異なる面に生じておりますので，最初の積分の S が x 軸を法線方向とする面だとすると（分布モーメント等が存在するような一般的な場合を含めると）ちょっと理解できません。