偏微分方程式の解法

(1) f(x, y)についての下記の一対の偏微分方程式の解法を教えてください。
∂f/∂x=y/r, ∂f/∂y=-x/r 　ここで、r=sqrt(x^2+y^2) です。
(2) 類似の偏微分方程式として、
∂f/∂x=x/r, ∂f/∂y=y/r は、直観で解けて、その特解は　f(x, y) = sqrt(x^2+y^2)ですよね。
　　しかし、一般解はどう表せばよいでしょうか？また、直観に頼らずに解く方法を教えてください。
(3) 上記(1), (2)については、回転放物面のガウス曲率を導出する過程で、曲面パラメータの微分形式の表現の中に現れたものです。ただ、これらの方程式は、昔、電磁気学だったか、解析力学だったか、はたまた複素解析だったかで、見覚えがあります。そもそも、これらの偏微分方程式は対称性が高くて美しいと感じますが、 ”何を示している”のでしょうか？　何か、とっかかりとなるWeb上の情報や教科書をお教えいただけると助かります。

特に(3)はヘンな質問だと、自分でも感じていますが、どうか、よろしくご指南をお願いします。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/12/17 07:31

(1)

始めの式をxで積分すると
　f=ylog|x+√(x²+y²)|+g(y)
y=0 とすると
　f(x,0)=g(0)
となり、fはyのみの関数。したがって、∂f/∂x=０であるが、設定の
∂f/∂x=y/r と矛盾。つまり、このような微分は存在しない。

(2)
同様に、それぞれ x,yで積分すると
　f=√(x²+y²)＋g(y)
　f=√(x²+y²)＋h(x)
すると、
　f-f=g(y)-h(x)=0 → g(y)=h(x)
だから、g(y)はxの関数となるから、g(y)=C、つまり
　g(y)=h(x)=C
ゆえに
　f=√(x²+y²)+C

(3)
しらない。