No.1ベストアンサー
- 回答日時:
Aをエルミート行列とする。
Aの任意の固有値をλ、対応する固有ベクトルをxとする。
(Ax, x)
=t(Ax)x~ (t:転置、~:複素共役)
=txtAx~
=txA~x~ (Aはエルミート行列だから、tA=A~)
=tx(Ax)~
=(x, Ax)
ゆえに
(Ax, x)=(x, Ax)
が成り立つ
左辺=(λx , x)=λ|x|^2
右辺=(x , λx)=λ~|x|^2
よって
(λ-λ~)|x|^2=0
x≠0より
λ=λ~
したがってλは実数
No.2
- 回答日時:
教科書通りですが、
標準エルミート内積 は複素数に拡張された内積で
a・b = Σai(bi~)=(a^T)(b~) (^Tは転置、~は複素共役とします。)
内積の基本的な性質である
a・a = |a|^2 ≧ 0
がなりたちます。
^* を随伴行列(転置の複素共役)とすると
Ax・y = ((Ax)^T)(y~)=(x^T)(A^T)(y~)
=(x^T)(((A^*)y)~)=x・(A^*)y
と変形できます。
エルミート行列の定義 は H = H^* ですから
Hx・y = x・Hy
x=yの場合でかつHの固有ベクトルとし、
xに対応する固有値をλとすると
Hx・x = x・Hx
λx・x = x・λx → λ(x・x) = (λ~)(x・x)
固有ベクトルは定義から零ベクトルではないので
(x・x)≠0
なので、両辺を x・x で割ると
λ = λ~
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