整数問題 確認

m！+n！=2^nを満たす自然数の組（m, n）を求めよ、という問題を解いてみました。
この回答だと、10点中何点取れますか？取れない場合、どこがいけないか教えていただければ助かります

No.3 ベストアンサー 回答者： yukkurine 回答日時： 2022/04/09 17:28

階乗はべき乗より速く大きくなることを使うと次のように示せます。

n≧4ならn!>2^nとなることを示す。
n=4のとき4!=24>16=2^4で成立
n=k(≧4)で
k!≧2^kが成立すれば両辺に(k+1)を乗じて
(k+1)k!≧(k+1)2^k
　　　　>2*2^k
　　　　=2^(k+1)
よって(k+1)!>2^(k+1)
n=k+1でも成立
数学的帰納法によりn≧4ならn!>2^n
したがってn≧4なら
m!+n!>n!>2^nなので
m!+n!=2^nとなるのはn≦3に限られれる
n=1のとき　m!=1よりm=1
n=2のとき　m!=2よりm=2
n=3のとき　m!=2よりm=2
(m, n)=(1, 1), (2, 2), (2, 3)

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/04/08 19:54

それでよいとは思いますが(iii)(iv)の部分は以下の方がもっとよいと思います

(iii)
n≧3かつnが奇数のとき
…
2!+n!=2^n
↓両辺を2で割ると
1+n!/2 = 2^(n-1)
n≧3だから右辺2^(n-1)は偶数だから左辺も偶数だから
n!/2は奇数でなければならないから
n!/2=3
∴n=3
∴(m,n)=(2,3)

(iv)
n≧4かつnが偶数のとき
…
1+n!=2^n
n≧4だから右辺2^nは偶数だから左辺も偶数だから
n!は奇数でなければならないから
n!が偶数である事に矛盾するから
よって
1+n!=2^nとなるnは存在しない

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2022/04/08 19:08

(m, n)=(3, 2) は ダメでしょ。