この整数問題は解があった場合は解は１個しか持たないのでしょうか？

手計算で解は１個しか見つからなかった。
３以上の自然数ｎに対して約数関数σ（n）の
(σ(a)＋b)/(a＋b)＝（ｎ＋１）²/ｎ²
となる自然数a、bの組み合わせは必ず存在するか？
ｎ＝３のときは、
(σ(8)＋１)/(8＋１)＝１６/９となる解が存在する。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/19 23:16

No.1はちょっとごちゃごちゃしてたので、解の例を作る手順として整理しておきます。

（全ての解を網羅する方法、というわけではありません。）

[準備1]aの素因数分解が
　　a = Π p[i]^q[i] （p[i]はどれも相異なる素数）
のとき
　　σ(a) = Π (p[i]^(q[i]+1) - 1)/(p[i] - 1)
であることはよく知られている。ここで
　　(x^(m+1) - 1)/(x-1) = 1 + x + ... + x^m
は等比級数で、従って左辺は必ず割り切れることに注意。

[準備2]問題から
　　c = a + b
でbを消去してcについて解くと
　　c = ((σ(a) - a)/(2n + 1)) (n^2)
という方程式。だからもし(σ(a) - a)が(2n + 1)で割り切れれば十分。

そこで、(σ(a) - a)が(2n + 1)で割り切れるようなa, nをみつける。
[手順1] テキトーな素数pを持ってくる。そして、
　　k = 1, 2, .... についてテキトーに（ふつうの人は順番にやるだろうが）
　　r = (p^(k+1) - 1)/(p - 1) = (1 + p + p^2 + ... + p^k)
が素数になるkをひとつみつける。
（たとえば
　　p=2ならk= 1, 2, 4, 6, 12, ...
　　p=3なら k=2, 6, 12, ...
　　p=5なら k=2, 6, 10, ...
　）
　p=2, k=1の場合以外、kは必ず偶数であり、かつ r＞p であることは容易にわかるでしょう。
[手順2]　素数rは奇数だから
　　n = (r - 1)/2
は自然数。つまり
　　r = 2n+1
[手順3] 勝手な(0でない)自然数q、および「rとpを素因数に含まない勝手な(0でない)自然数」sを使って
　　a = (r^q)(p^k)s
とする。（もちろんq=1, s=1でも構わない。）
　これでaはrで割り切れる。そして、
　　σ(a) = ((p^(k+1) - 1)/(p - 1)) ((r^(q+1)-1)/(r-1)) σ(s)
　　= r ((r^(q+1)-1)/(r-1)) σ(s)
だからσ(a)もrで割り切れる。
[手順4]
　　c = ((σ(a) - a)/r)(n^2)
　　b = c - a

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/19 17:53

a=117, b=63, n=6 とか？

ご質問の方程式を整理すると(c = a+b として）
　　(σ(a) - a)(n^2) = (2n + 1)c
これを満たすa, n, cを見つけたい。
　素数pに対して
　　2n + 1 = (p^(2k+1) - 1)/(p - 1)
がpでない素数になるとき（たとえばp=3, k=1)
　　a = (2n+1)(p^(2k))
とすれば
　　σ(Π(p[j]^q[j]) = Π(p[j]^(q[j]+1) - 1)/(p[j] - 1)
を使って
　　σ(a) =(((2n+1)^2 - 1)/(2n)) (p^(2k+1) - 1)/(p - 1)
　　= (((2n+1)^2 - 1)/(2n)) (2n + 1)
なので　σ(a) - a は(2n + 1)で割り切れるから
　　c = (n^2)(σ(a) - a)/(2n + 1)