y=x^3-x+1とx軸との接点の座標の求め方を教えていただきたいです。

y=x^3-x+1とx軸との接点の座標の求め方を教えていただきたいです。

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/06 14:25

x軸との接点とは、連立方程式 y = dy/dx = 0 のことです。

この例題では、x^3 - x + 1 = 3x^2 - 1 = 0 です。
3x^2 - 1 = 0 の解は x = ±1/√3 なので、
x^3 - x + 1 = 0 へ代入して式が成り立ちませんね？
したがって、y = x^3 - x + 1 に x軸との接点はありません。

ｘ軸との「交点」のいいまつがいなら、
x = u + v と置いて
0 = x^3 - x + 1 = (u+v)^3 - (u+v) + 1
　= (u^3 + v^3 + 1) + (u+v)(3uv - 1) です。
u^3 + v^3 + 1 = 3uv - 1 = 0 であれば、この式が成り立ちます。
u^3 + v^3 = 1, (uv)^3 = 1/3^3 と変形すると、
t = u^3, v^3 が t^2 - t + 1/27 の解であることが解ります。
二次方程式を解いて t = ( 1 ± √(1 - 4/27) )/2.
x = u + v = { u^3 }^(1/3) + { v^3 }^(1/3)
　= { (1+√(1 - 4/27)/2 }^(1/3) + { (1-√(1 - 4/27)/2 }^(1/3)
と求まります。
この解から因数定理を使って原式を 一次×二次 に分解し
二次因子の判別式を考えるか、
y = x^3 - x + 1 の極小値を求めて
それが正値であることを確認すれば、
実数解は 1個で上記のものだけであることが判ります。

x軸「と平行な直線」との接点のいいまつがいなら、
上記の dy/dx = 0 を解いて x = ±1/√3.
対応する y は、これを y = x^3 - x + 1 へ代入すれば求まります。
そのような接点は 2点あり、
(x,y) = (√3/3,(9-2√3)/9), (-√3/3,(9+2√3)/9) です。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2023/05/06 11:14

y=x³-x+1 → y'=3x²-1 。

「x軸との接点」と云う事は 極値が y=0 になる事。
この式では それは ナイ。
「x 軸との 交点」は 1つあります。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/06 05:55

図の通り

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/05/06 05:28

y=x^3-x+1

と
x軸の交点はあるけれどもそれは接点ではない

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/06 00:44

接点は無い。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。多分ですけどマイナス側に接する点があると思うのですが、、、

お礼日時：2023/05/06 01:48