【至急】yをtを用いて表したら、y=-2t²+6t+4になるというところまではわかったのですが、そこ

【至急】yをtを用いて表したら、y=-2t²+6t+4になるというところまではわかったのですが、そこから平方完成してみても、y=-2(t-3/2)²+2/17となって、最大値が答えとあいません。ちなみに答えはx=0の時最大値8です。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/06/04 16:20

1.

　y=-2t²+6t+4
　dy/dx=(dy/dt)dt/dx=(-4t+6)log2(2^x-2^(-x))=0
ここで
　t=2^x+2^(-x)≧2 (AM-GM不等式)・・・・①　
なので
　-4t+6≦-2 で0でないから
→ 2^x-2^(-x)=0 → x=0

2.
あるいは
　y=-2(t-3/2)²+17/2
t=3/2は①を満たさず、解ではない。t≧2 では yは単調減少
だから、最大は t=2 つまり、x=0 , y=8
となる。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/04 21:25

普通にやるだけなんだけど、どこを間違ったの？

(自分の誤答を書かなきゃ、どこを間違ったのかは回答者には判らん。)

-∞ < x < +∞ の範囲で定義された y = 6(2^x + 2^-x) - 2(4^x + 4^-x) の
最大値を求める問題。
これは、問題の誘導どおり 2^x + 2^-x = t と置くと、
-∞ < x < +∞ の範囲で定義された t = 2^x + 2^-x と
t の値域である 2 ≦ t で定義された y = 6t - 2(t^2 - 2) について、
y の最大値を求める問題になる。

1) まず、-∞ < x < +∞ の範囲で定義された t = 2^x + 2^-x の変域は判った？
2) 次に、2 ≦ t で定義された y = 6t - 2(t^2 - 2) の最大値は判った？

1) は、相加相乗平均の関係から t ≧ 2√( (2^x)(2^-x) ) = 2,
　　等号成立は 2^x = 2^-x すなわち x = 0 のとき ...と解る。
2) は、二次関数の最大値だから、 y = -2(t - 3/2)^2 - 9/4 + 4 と平方完成して
　　軸 t = 3/2 と t の変域 2 ≦ t の位置関係を放物線のグラフ上で確認すれば、
　　y の最大値は t = 2 のとき、すなわち x = 0 のときであると解る。このとき y = 8.

No.5 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/06/04 19:33

最大値が答えとあいません。

当然です。

2ˣ+2⁻ˣは必ず>0なんだから（実際には2以上)。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2023/06/04 18:35

x の式を t に置き換えたのですから、

t の取り得る範囲を 考慮する必要があります。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/04 16:44

y=6(2^x+2^{-x})-2(4^x+4^{-x})

2^x+2^{-x}=t

0≦(2^x-1)^2=4^x-2*2^x+1
0≦4^x-2*2^x+1
2*2^x≦4^x+1
2≦2^x+2^{-x}=t
2≦t
だから
tの範囲は
t≧2
となる

y=-2t^2+6t+4
y'=-4t+6=-2(2t+3)
t≧2
2t≧4
2t+3>0
y'=-2(2t+3)<0
yは減少
t=2のとき最大となる
x=0のときt=2
y=-2*2^2+6*2+4=8

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/04 16:21

「最大値が答えとあわない」とあるんだけど

・あなたの導いた「最大値」はいくつ?
・t の範囲は意識してる?