図の回路において、時刻t=0でスイッチSを閉じるときに生じる現象について考える。
回路に流れる電流をi(t)、キャパシタの両端の電圧をv(t)とし、スイッチSを閉じる直前のキャパシタの電荷をq0(q(-0)=q0)、E>0とする。
i(t)からv(t)を求め、q0=2CEの場合について、v(t)の波形を描きたいのですが、
私は、i(t)=-E/R exp(-t/(CR))と求められ、
v(t)=Ee^(-t/(CR))と求められたのですが、
どうやら間違えてるみたいです。
正しい答えと解き方を教えてください。
お願いします。
No.3
- 回答日時:
Cv(t) = q(t)
で
dq(t)/dt = i(t)
ですから
dv(t)/dt = (1/C)i(t) ①
かつ
v(t) + Ri(t) = E ②
より
dv(t)/dt = -Rdi(t)/dt ③
です。
①③より
di(t)/dt = -[1/(CR)]i(t)
よって
i(t) = I0・e^[-t/(CR)]
よって、②より
v(t) = E - R・I0・e^[-t/(CR)] ④
t=0 のとき
v(0) = (1/C)q0
なので、④より
v(0) = E - R・I0 = (1/C)q0
→ I0 = E/R - [1/(CR)]q0 ⑤
よって、④は
v(t) = E - R・{E/R - [1/(CR)]q0}・e^[-t/(CR)]
= E - E・e^[-t/(CR)] + (q0/C)・e^[-t/(CR)]
= E{1 - e^[-t/(CR)]} + (q0/C)・e^[-t/(CR)] ⑥
⑥が一般解でしょう。
通常の高校物理でやるような q0=0 の場合には
v(t) = E{1 - e^[-t/(CR)]}
となります。
そして
q0 = 2CE
の場合には
v(t) = E{1 - e^[-t/(CR)]} + 2E・e^[-t/(CR)]
= E{1 + e^[-t/(CR)]}
t→∞ のときには
v(t) → E
になります。
⑤から分かるように、そのときの電流は
I0 = -E/R
となって、電池の電流は流れずにキャパシタの「放電電流」が流れます。
No.4
- 回答日時:
Ri+q/C=E, i=q' → Rq'+q/C=E
→ R(q-CE)'+(q-CE)/C=0
これは変数分離ですぐ解けて
q-CE=Aexp(-pt), p=1/RC
初期条件から
q(0)-CE=2CE-CE=A → A=CE
したがって
q=CE{1+exp(-pt)}
v=q/C=E{1+exp(-pt)}
ちなみに iから求めるときは
i=dq/dt → ∫[0,t]idt=q-q(0)=q-2CE
だから
v=q/C=(1/C){ ∫[0,t]idt+2CE }
=(1/C){ ∫[0,t] -(E/R)exp(-pt) dt + 2E }
=(E/RC)[ -(-1/p)exp(-pt)][t,0] +2E
=E{exp(-pt)-1} +2E
=E{1+exp(-pt)}
微分して積分するので無駄なことをしているけれど。
No.5
- 回答日時:
>t→∞ のときには
v(t) → E
になります。
⑤から分かるように、""そのときの""電流は
I0 = -E/R
となって、電池の電流は流れずにキャパシタの「放電電流」が流れます。
<
●何、訳の分からないことを言っている。
聞かれもしない、余計なことを述べているが、なぜ
さっさと完了しない?
No.6
- 回答日時:
簡単なのはRの両端電圧VR(t)計算して、C両端電圧v(t)を計算します。
v(t)=E-VR(t)
=E-R・i(t)
=E-R・(E/R exp(-t/(CR)))
=E(1- exp(-t/(CR))
No.7ベストアンサー
- 回答日時:
あなたの式だと
v(0)=Ee^(-0/(CR)) =E
q0=2CE ってことは v(0) = q0/C = 2E
だから間違ってますよね。
v(t) = E - i(t)R
なんだから、電流が求まれば答えは
v(t) = E - [-Ee^{-t/(CR)}] = E[1 + e{-t/T}]
が求まるはず。
微分方程式立てて始めから解くと
E = Ri + (∫[0→t]idt + q0)/C
ラプラス変換すると
E/s=RI + (I/s + q0/s)/C
→ CE = sCRI + I + q0
→ I = (CE-q0)/(sCR+1)={E/R-q0/(CR)}/{s + 1/(CR)}
= -(E/R)/{s + 1/(CR)}
ラプラス逆変換して
i(t) = -(E/R)e^{-t/(CR)}
なので i は合ってます。
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