In=∮sin^n xdxとおくとき漸化式 In=-1/n sin^(n-1) xcosx+n-1/

In=∮sin^n xdxとおくとき漸化式

In=-1/n sin^(n-1) xcosx+n-1/n・In-2

となることを示してという問題がよくわかりません

教えていただきたいです！

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/20 09:17

部分積分

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/20 09:47

(sin^n(x))' = n･sin^(n-1)(x)･cos(x)

になるのは分かりますね？

y = sin(x) とおけば
　f(x) = sin^n(x) = y^n = g(y)
なので
　df/dx = (df/dy)(dy/dx) = (dg/dy)(dy/dx)
で
　dg/dy = n･y^(n-1)
　dy/dx = cos(x)
だから。

あとは、これを使って「部分積分」をしていくだけ。


sin^n(x) = sin^(n - 1)(x)･sin(x) = sin^(n - 1)(x)･[-cos(x)]'

と考えれば

In = ∫sin^n(x)dx = ∫{sin^(n - 1)(x)･[-cos(x)]'}dx
　= -sin^(n - 1)(x)･cos(x) - ∫{[sin^(n - 1)(x)]'･[-cos(x)]}dx
　= -sin^(n - 1)(x)･cos(x) + ∫[(n - 1)sin^(n - 2)(x)･cos^2(x)]dx
　= -sin^(n - 1)(x)･cos(x) + ∫{(n - 1)sin^(n - 2)(x)･[1 - sin^2(x)}dx
　= -sin^(n - 1)(x)･cos(x) + ∫{(n - 1)sin^(n - 2)(x)}dx - ∫{(n - 1)sin^n(x)}dx
　= -sin^(n - 1)(x)･cos(x) + (n - 1)∫{sin^(n - 2)(x)}dx - (n - 1)∫sin^n(x)dx
　= -sin^(n - 1)(x)･cos(x) + (n - 1)I(n-2) - (n - 1)In

よって
　n･In = -sin^(n - 1)(x)･cos(x) + (n - 1)I(n-2)
→　In = -(1/n)sin^(n - 1)(x)･cos(x) + [(n - 1)/n]I(n-2)


自分で手を動かしてやってみましたか？
数学は「公式にあてはめて一発で答を出す」ものではなくて、いろいろと工夫・試行錯誤して解決策を見つけていくものです。