数列について

（2）について、ak＝k（k＋1）とすると
（2）でa［k＋1］を求められますか？

質問者からの補足コメント

• ak＝m（m＋1）でした
  計算に失敗したんですがヒントを下さい

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/10/11 10:03

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/11 13:27

まず、漸化式を解いてしまおう。

a[k]^2 + a[k+1]^2 = 2(a[k] + a[k+1] a[k]a[k+1])
を a[k+1] の二次方程式として解くと、
a[k+1] = a[k] + 1 ± √(4a[k] + 1).

a[k] > 0 なら
a[k] + 1 - √(4a[k] + 1) < a[k] < a[k] + 1 + √(4a[k] + 1)
となるから、 a[k] < a[k+1] の条件より
a[k+1] = a[k] + 1 + √(4a[k] + 1).　　←①

a[k] = m(m+1) であれば、
a[k+1] = m(m+1) + 1 + √(4m(m+1) + 1)
　　　= m(m+1) + 1 + √(4m^2+4m+1)
　　　= m(m+1) + 1 + √((2m+1)^2)
　　　= m^2 + m + 1 + (2m + 1)
　　　= m^2 + 3m + 2
　　　= (m+1)(m+2).

無事、a[k+1] も □(□+1) の形になっているのだった。
①の式には √ が入っているが、これで安心して
a[n] は正数列で間違いないと言える。(数学的帰納法で)

この回答へのお礼

あとは式変形でa1が2整数の積になることを表せばいいらしいです、ありがとうございました

お礼日時：2023/10/11 17:36

No.8 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/10/11 17:01

ちなみに

　a[n+1]=a[n]+1±√(4a[n]+1)
とa[n]が整数ということから
　4a[n]+1≧1 → a[n]≧0
また、a₁=0 とすると　a₂=1, a₃=2±√5≠整数、なので
　a₁>0
したがつて、a[n]>0
すると、a[n]は単調増加だから
　a[n+1]=a[n]+1+√(4a[n]+1)
となる。

a[n+1]が正の整数となるには、正の整数bが存在して
　√(4a[n]+1)=b
となる。つまり
　4a[n]+1=b²
ところが、左辺は奇数だから、bも奇数で b=2m+1 とかけ
る。すると
　4a[n]+1=(2m+1)²=4m²+4m+1 → a[n]=m(m+1)
ただし、mはnの関数。

No.7 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/10/11 15:04

>ak＝m（m＋1）でした<

●何を言っているか意味不明。

a₁=2021(2021+1) として解くと書いてある。

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/10/11 13:37

#1さんのように、a[n+1]を解くと

　a[n+1]=a[n]+1±√(4a[n]+1)
a[n]>0 とすると、a[n]<a[n+1] だから
　a[n+1]=a[n]+1+√(4a[n]+1)
となる。

　a₁=a(a+1) , a>0
が成り立つとすると
　a₂=a(a+1)+√{4a(a+1)+1}=a²+a+(2a+1)=(a+1)(a+2)
となる。すると
　a₃=((a+1)+1)((a+1)+2)=(a+2)(a+3)
がにりたち、順次帰納的に
　a[n]=(a+n-1)(a+n)・・・・①
が成り立つ。

いま、
　a₁=2021・2022=a(a+1)
だから、a=2021となり、①に入れて
　a[n]=(2020+n)(2021+n)
となる。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/11 13:28

あ、誤字：

a[n] は整数列

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/10/11 13:15

面白い問題ですね。

　「…を満たすとする」と言ってる内容を咀嚼してみる必要があります。
　与えられた式は漸化式のようだけど、二次方程式になってます。だから、解は二つあるだろう。するとどちらかを選ばなくちゃ列ができないわけで、その選び方が a[n]＜a[n+1]という条件です。
　しかし、この二次方程式、a[n]より大きい解が出ないかもしれない。整数解があるかどうかすらも分からない。もちろん解が実数であるという保証もないから、 a[n]とa[n+1]との大小比較ができるのかどうかは、分からない。

　というわけで、「…を満たすとする」とか言ってるけど、そんな話が本当に成立するのかどうか、まだ分からない。そんなものを、いきなり真に受けるわけには行かない。

　ところで(1)は
　　∀n ∃q (a[n] = q(q+1))
と主張しているだけであって、nとqの関係については、もちろん何も言っていない。

　ま、とりあえず問題設定の言うことを真に受けてみて、(1)に従って
　　a[n] = q(q+1)
であると仮定する。分かりやすいように
　　a[n+1] = x
と書けば「漸化式」は
　　x^2 - 2(q(q+1) + 1)x + (q(q+1))^2 - 2q(q+1) = 0
であり、左辺は
　　(x - (q+1)(q+2))(x - (q-1)q) = 0
と因数分解できるから、2つの整数解が得られた。
　　(q-1)q < q(q+1) < (q+1)(q+2)
だから
　　a[n+1] = (q+1)(q+2)
である。（で、もう一方の解はa[n-1]に他ならない。ともあれ、）
　だから、整数qが
　　a[n] = q(q+1)
を満たすならば、
　　a[n+1] = (q+1)(q+2)
となる、ということはわかった。
　これで、帰納法、すなわち
　　第1段 「P(0)」を示す。
　　第2段 「P(n)ならばP(n+1)」を示す。
のうち、第2段については証明できたわけで、だから、a[n]以降の全ての要素は(1)を満たす。

　例えば
　　a[1] = 1×2
でやってみれば
　　x = 2×3, 0×1
という二つの解が出て、a[2] = 2×3。以降同様に a[n] = n(n+1)であることがわかる。

　(2)番の問いは、そこで言うa[1]を、上記の「例えば」におけるa[2021]のことだと読み替えるだけだから、超簡単。

　さて、残された問題は何かというと、(1)の第1段の証明。すなわち問題文の「…を満たすとする」が成り立つなら、必ず ∃q (a[1] = q(q+1)) である、ということの証明です。
　これは背理法で、「∀q(a[1] ≠ q(q+1)) ならば、二次方程式の解α,βがどちらも整数でないか、どちらもa[1]より大きくない」を証明してもいい。
　できるかな？

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/10/11 08:47

出来ません。

a[k]=k(k+1)
なら
a₁=2≠2021・2022
に矛盾。

　a[n]=(2020+n)(2021+n)
とすればよい。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/11 08:47

漸化式にその a[k] を代入すれば a[k+1] が求められる。

二次方程式だよ。

この回答へのお礼

ak＝m（m＋1）でした
計算に失敗してしまったのでヒントを下さい

お礼日時：2023/10/11 10:36