高一数学整数〔チャート 387ページ問題136番〕 73x－56y＝5の整数解を求めよ。

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質問者：とまとーと
質問日時：2023/10/12 23:23
回答数：6件

高一数学整数

〔チャート 387ページ問題136番〕

73x－56y＝5の整数解を求めよ。
という問題です。
解説に、73と56を文字で置き換え、
「余りの方程式の定数項とおなじになったから、ここで互除法は終了」
と書いてあるのですが、
余りの方程式の定数項とおなじ
の意味が理解できません。(>_<。)
教えて下さると助かります(* .ˬ.)‪ෆ‪.*･ﾟ

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回答 (6件)

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No.6

回答者： kairou
回答日時：2023/10/13 21:01

「不定方程式をユークリッドの互除法を使って計算する」と

考えている人が多いようですがそれは違います。
「ユークリッドの互除法」の考え方を利用しているだけです。
73=56*1+17 → 17=73-56*1 ・・・①
56=17*3+5 → 5=56-17*3・・・②
① を ② に代入 → 5=56-(73-56*1)*3=56*4-73*3 。
つまり 73*(-3)+56*4=5 で x=-3, y=-4 となりますね。

「73と56を文字で置き換え」と言う事は、
上記の式で 17x3=51 と計算しないで 17*3 と考えると言う事です。

ユークリッドの互除法では余りが 1 になるまで計算を続けますが、
不定方程式では問題の右辺の数字と同じになればそこで終わりです。

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この回答へのお礼

数字が文字になっただけなのですね！！
ありがとうございます !!

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お礼日時：2023/10/14 06:14

No.5

回答者： akari31
回答日時：2023/10/13 18:29

modを習ったのだから、使ってみれば、73x－56y＝5で

73,56は互いに素よりmodが使えます。56=7・8より
3x≡5 (mod7)・・・・①
x≡5 (mod8)・・・②
modをそろえるため
①を８倍、②を７倍する
24x≡40 (mod56)・・・③
7x≡35 (mod56)・・・④
③、④はmodが揃いましたので、加法、減法、乗法の計算が出来ますので、
④を３倍
21x≡105 (mod56)・・・・⑤
③-⑤
3x≡-65≡-9 (mod56) 従って、x=-3これを与式に代入
73(-3)-56y=5よりy=-4,このx,yを与式に代入
73(-3)-56(-4)=5・・・・⑥
与式から⑥を引く
73(x+3)-56(y+4)=0これより、x=56k-3,y=73k-4

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この回答へのお礼

ありがとうございます !!
modの方法は最近できるようになってきました！！

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お礼日時：2023/10/14 06:15

No.4

回答者：ありものがたり
回答日時：2023/10/13 13:42

付記：

与えられた整数の定数 a, b, c に対して
ax + by = c を満たす整数 x,y を求めるには、
au + bv = g (g は a, b の最大公約数) となる u, v を求めて
両辺を c/g 倍すればいい。そのような u, v は、
ユークリッドの互除法を使って求めることができます。
これが、不定方程式 ax+by=c を解く基本的な方法です。
だから、c/g が整数であることが、解が存在する条件となります。

基本はそうなのだけど、互除法を最後まで
最大公約数が見つかるまでやらなくても、
au + bv = h の c/h が整数になるとこまで行えば、
ax + by = c の解は見つけることができます。
互除法を途中でやめてよければ、手間は減りますね。

やめるタイミングは c/h が整数になるとこなのですが、
質問の例では、たまたま c = 5, h = 5 であるため
それを「h が c と同じになったから」と表現しています。
c/h = 5/5 = 1 が整数になってることに違いはないのだけれど。

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この回答へのお礼

ありがとうございます !!

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お礼日時：2023/10/14 06:15

No.3

回答者：ありものがたり
回答日時：2023/10/13 08:57

余り付き除算の書き方に慣れていないのかな？

算数では、「56÷17=3あまり5」とか書きますが、
数学では、この書き方は使いません。その代わりに、
写真の右のほうにあるように「56=17・3+5」と書きます。

この式は、56を17で割った商が３、余りが5である
ことを表しています。青線の文は、ここでの余り５が、
もとの方程式73x-56y=5の定数項５と同じになった
から計算は終了だと言っています。

73と56の最大公約数は5ではないので
互除法としてはこれで終了ではないのですが、
問題の方程式を解くための計算は終了という意味です。