大学数学 解析

p>0とする。
lim[x→p](1/x)=1/p を示せ。

という問題があるんですけど
lim[x→p]x=pを前提としてしまって良いのでしょうか。上のこと以外には何も書いていないです。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/11/16 23:50

>lim[x→p]x=pを前提としてしまって良いのでしょうか。

それ何か役に立ちますかね？

lim の定義に従って素直に解くだけだと思いますよ。

以下の式で任意のεに対してσが存在することを示せばおしまい。
|x-p|<σ
|1/p - 1/x|<ε

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2023/11/20 18:25

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/16 13:05

lim[x→p]x=p が成り立つのことは自明で

それを使うことには問題はないけれども、
「を前提として」というのが、もし
『lim[x→p]x=p だから 1/x に x=p を代入して =1/p』
とやろうとしているのだとしたら、全くダメです。
lim[x→p]f(x)=f(p) が成り立つのは f(x) が x=p で連続
な場合であって、まさにその 1/x が x=p で連続であること
を示せという問題なのですから、
上記の『 』では循環論法になってしまいます。

普通に lim の定義どおりにやったらいいでしょう。
lim[x→p](1/x)=1/p
⇔　∀ε>0,∃δ>0,∀x,0<｜x - p｜<δ⇒｜1/x - 1/p｜<ε　←[1]
です。
任意の ε>0 に対して
δ < (εp^2)/(εp + 1) となるように δ を選べば、　←[2]
[1] が成り立ち、
よって lim[x→p](1/x)=1/p が言えます。

[2] は、1/(p - δ) - 1/p < ε を変形して得ました。
y = 1/x のグラフを眺めて
x = p - δ と x = p + δ のどちらで
｜1/x - 1/p｜ が大きくなるかを考えれば、解ると思います。

この回答へのお礼

できました！ありがとうございます！

お礼日時：2023/11/20 18:26