下記数学の計算結果の違いがなぜ起こるのかを教えてほしいです。 ①のように、増加量が出ているならそれを

下記数学の計算結果の違いがなぜ起こるのかを教えてほしいです。
①のように、増加量が出ているならそれを変化の割合にと掛ければyでもxでも増加量は求められると思っていました。

①y=2/3x-2の一次関数があるとき
xの増加量が12のとき、yの増加量=12×2/3=8と解説にあります。

②y=2x^2の二次関数があるとき
xの値が4〜8まで増加するとき、yの増加量=2×4^2=32とすると違っていました。

答えは24でその経緯もx=4のときy=32・・・とよく分かるのですが、①②の計算方法の違いはなぜ起きるのか気になりました。
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/02/01 15:07

一時関数の場合は

変化の割合が一定
いわば、ずっと同じ速度で走っているのと同じ
今、その一定の速度を2/3だとすると
移動距離(y)
＝速度(2/3)・時間(x)…・は掛け算の意味
xが0から12に変化であろうと
100から112に増加であろうと
xの増加が12なら
比例してyの増加は8

一方
2は、移動距離と時間が比例していない
つまり、速度が一定でなくて加速していると言うこと
すると、速度が遅い時間帯に
時間(x)が1増加しても
移動距離(y)は対して増加しないが
(参考例　xが1から2に増加のとき
yは2から8に増加)
速度が速い時間帯にxが1増加すると
yの増加量はとても大きいものとなる
(xが10から11に増加のとき
yは200から242に42も増加)
1と異なり、２次関数では
変化の割合がだんだん変わって行くので、変化の割合一定の一次関数のような求め方は通用しないのです

この回答へのお礼

とても納得できました！グラフをイメージしながら進めます。皆様ありがとうございました！

お礼日時：2024/02/03 14:01

No.10 回答者： sc348253 回答日時： 2024/02/02 10:52

幾何的に言えば

円の　弦　と　孤　の違いのようなもので　
y=2x^2 が一次関数なら同じになったのですが2次関数なので少なくなります　その点は円の円周の一部におれる弦と孤との比較においては異なるのですが　内容的にはよく似ているのでわかるのではと思います
高校の数2で微積分を習いますが　積分における面積が違うことでも
わかるでしょう　これは
微分とはこの平均変化量の極限値なので似ているのも当然です！

No.9 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2024/02/02 09:31

変化の割合について混同と誤用があるようです。

変化の割合とは、ある区間（変域）において、「yがxの何倍変化するか」を表した割合であり、⊿y（yの増加量）/⊿x（xの増加量）によって求められる。
ただし、、、
A．一次関数においては常に一定で、グラフの傾きと同じ。一般式「y=ax+b」のaと同じになる。
B．二次関数においては変域によって変動し一定ではない。一般式「y＝ax^2」のaと同じではない。

②で「yの増加量=2×4^2=32とする」とありますが、二重の間違いをされているようです。

まず、「y=2x^2」のx^2の係数2は変化の割合ではありません。
また、仮に変化の割合がわかっているなら、xの増加量（⊿x）を二乗する必要もありません。
（変化の割合＝⊿y/⊿x であることから、⊿y＝⊿x✕変化の割合と変形できます。⊿xや辺の割合を二乗する必要はありません。）
（⊿xや⊿yを求める途中で、xやyの値を二乗することはありますが、⊿xや⊿y、変化の割合を二乗することはありません。）

No.8 回答者： finalbento 回答日時： 2024/02/02 07:48

端的に言えば「xの増加量に変化の割合をかければyの増加量が求まる」と言う考え方が間違っています。

と言う以前に「変化の割合」の意味そのものを理解しておられないように見受けられます。

一般にxの増分(注:「増」と言う字を使っていますが増分がマイナスすなわち減る場合も含みます)をΔx、yの増分をΔyと書くと、この時の変化の割合をmとすれば

m=Δy/Δx

と定義されます。つまり質問者様が考えられたような「ΔxとmをかければΔyが求まる」と言うのは本当は話が逆で、ΔxとΔyが分からなければmは決まりません。一次関数の場合はたまたまmが一定のため「Δxとmが与えられていればそれらをかけてΔyが求まる」と言うのが結果的に成り立ったと言うだけに過ぎません。

それから変化の割合をの意味を誤解されています。二次関数

y=ax^2…①

の変化の割合をaとして計算しておられましたが、変化の割合とは前述のように

Δy/Δx

の事であって、①式のaはx^2の係数に過ぎません。グラフを見ればすぐに分かるように二次関数(と言うより関数は一般的に)の変化の割合はΔxやΔyをどの範囲で考えるかによって変わって来ます。なので「Δxに変化の割合をかけてΔyを求める」と言う方法がそもそも使えません。ΔxやΔyが分からなければ変化の割合は分からないわけですから。

PS:分数を一行で書く時には、例えば「3分の2x」であれば

(2/3)x

と言う具合に括弧を使わないとダメです。質問文にあったような

2/3x

と言う書き方だと「3x分の2」と言う意味になってしまいます。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/02/02 07:09

②のx=4~8のyの増加量は、素直に計算して

y=f(x)=2x^2
yの変化量=f(x')-f(x)=2・x'^2-2・x^2=2(x'^2-x^2)≠2・x'^2

yはxの平方に比例するのだから、
yの変化量は当然、「xの平方の増加量」に比例します。
xの平方には比例しません。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/02 00:03

x の値が a から b まで増加するときの f(x) の増加量は、f(b) - f(a) です。

　←[1]
増加量って、本来はそういうもの。 ② の形のほうが基本なんです。

[1] のとおりに計算すれば、
② y の増加量 = (2・8^2) - (2・4^2) = 128 - 32 = 96 になります。

① は少し変で、x がどこからどこまで変化するかが書かれてなくて、
x の増加量だけが与えられていますね？
x の増加量が 12 とは、x の値が a から b まで増加するときに
b - a = 12 だということです。 a の値も b の値も判りません。

でも、[1] のとおりに計算すると
① y の増加量 = ((2/3)ｂ-2) - ((2/3)a-2) = (2/3)(b-a) = (2/3)12 = 8
となります。この場合に y の増加量が求まったのは、
y = (2/3)x-2 の場合には y の増加量が x の増加量 b-a だけから計算できる式
になっていたからです。

この方法が ② にはあてはまらないことは、
② y の増加量 = (2・b^2) - (2・a^2) = 2(b-a)(b+a) の値が
ｂ−a の値だけからではひとつに決まらないことを見れば解るでしょう。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/01 15:51

①の場合に「答は、xがどれだけ増えたかだけで決まる」のは、いわばタマタマに過ぎない、と思っておくのがよろしいでしょう。

　「yの増加量」という言葉の正確な意味を分かっていることが最も肝心です。
　yの増加量とは「xが初めの値だったときのyの値に比べて、xが別の値になったときのyの値はどれだけ増えたか」という意味なので、

　　(yの増加量) = (xが別の値になったときのyの値) - (xが初めの値だったときのyの値)

です。

　さて、
① y = p x + q
について、例えば xが100から12だけ増加して112になったとき、yの増加量は
　　(yの増加量) = (x=112のときのyの値) - (x=100のときのyの値)
　　= (112p + q) - (100p + q)
　　= 112p + q - 100p - q
　　= 112p - 100p
　　= (112 - 100)p
　　= 12p
である。最後の式を見れば分かるように、qは消えちゃうから、qはyの増加量には関係ない。さらに、xが最初にいくつだったかも関係ない。つまり①の場合には、xがどれだけ増加したか、だけでyの増加量が決まる。

　さて、「yの増加量」とは一体何のことだったのかを忘れてしまって、単に計算法として「yの増加量と言われたら、どれだけ増加したか(ご質問では12)とp(ご質問では2/3)を掛け算すりゃいいのね」とか思っていると、②で困ったことになる。

②y=ax² + bx + c
の場合、例えば xが100から4だけ増加して104になったとき、
　　(yの増加量) = (x=104のときのyの値) - (x=100のときのyの値)
　　= (10816a + 104b + c) - (10000a + 100b + c)
　　= 10816 + 104b + c - 10000a - 100b - c
　　= 10816 + 104b - 10000a - 100b
　　= (10816 - 10000)a + (104 - 100)b
　　= 816a + 4b
となる。最後の式を見れば分かるように、cは消えちゃうからyの増加量には関係ない。bの係数4はxが最初にいくつだったかには関係なく、xがどれだけ増加したか (104 - 100)だけで決まる。しかしaの係数816は、xが最初にいくつだったかにも、どれだけ増加したか（増加して幾つになったのか）にも依る。

　結局、①の場合に「答はxが最初にいくつだったかには関係ない」ということになったのは、いわばタマタマに過ぎない。（もっとキッチリ説明することもできるが、それはまだ難しすぎるでしょう。）

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2024/02/01 15:13

① と ② を グラフに書いた時の 違いは分かりますか。

① は 直線で、② は 曲線になります。
問題文も 違いますね。
① は「xの増加量が12のとき」で、
② は「xの値が4〜8まで増加するとき」です。

＞答えは24でその経緯もx=4のときy=32・・・とよく分かる・・・

ん？ 本当に分かったのですか？
② は x=4 の時 y=32, x=8 の時 y=128 で、
x の増加量が 4 の時 y の増加量は 96 ですよ。
　　で、増加の割合は 96÷4=24 となります。

① で 求めたのは y の増加量です。
② で 求めたのは y の増加の割合 です。
「①②の計算方法の違いは」求めるものが 違うからです。

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2024/02/01 15:02

①は一次関数、②は二次関数、と言う違いになります。

グラフを書いてみればわかります。

①のグラフは直線なので、
ｘのどの位置でも、xの幅に対するyの変化幅は一定です。
②のグラフは非直線なので、
ｘの位置により、xの幅に対するyの変化幅が変わってきます。

No.1 回答者： kigoshi 回答日時： 2024/02/01 14:53

②はｘを2乗しているからです。

②でｘが－4から4まで8増加する場合を計算してみると分かるかな。