正四面体

メタンの結合格は109.5度（109度30分）ですがそれを数学的に証明したいのですがどうすればいいかわかりません
わかる方回答よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： pyon1956 回答日時： 2005/06/05 20:44

Cの位置は３つのHを頂点とする正四面体の重心ですね。

ここを始点に４つの頂点に向かうベクトルをa,b.c,dとおくと、
a+b+c+d=0
ab=bc=cd=da=ac=bd(ただしabなどはaとbの内積）
また|a|=|b|=|c|=|d|、これを１とおくと
d=-(a+b+c)よりad=-aa-ab-ac
またab=|a||b|cosΘ（Θは結合角）
よってcosΘ=-1-2cosΘ、つまりcosΘ＝－(1/3)
あとは逆三角関数なり関数表なりを見てやればOKです。

No.4 回答者： proto 回答日時： 2005/06/05 20:47

中央の炭素と、任意の２つの水素を通る平面で

正四面体を斬ります
断面は二等辺三角形になり
補助線としてC-H結合を延長したりして考えると
相似な三角形の辺の長さの比から
目当ての描くのSinがわかるはずです
あとは三角関数表を見て角度を逆算すれば
約109.5度が出るはずです

No.3 回答者： acacia7 回答日時： 2005/06/05 20:47

あ・・・失礼。

＃１の「tan」あたりは「arctan」の間違いですね。

No.1 回答者： acacia7 回答日時： 2005/06/05 20:43

正四面体に外接する球の半径をRとした場合、

正四面体の一辺と二つの半径がつくる二等辺三角形の
頂角がなす角度が求める角度です。

二等辺三角形を半分に切って、
直角三角形としてtanを利用して角度を算出、
倍にすれば出せるでしょう。

外接球の半径は
「正四面体　外接　半径」あたりをGoogleで検索するとよさげな解法が見つかります。

この回答へのお礼

皆さん。わかりやすい回答ありがとうございます。
問題解決しました^^

お礼日時：2005/06/05 20:58