ステラジアンへの換算法

ラジアンや度をステラジアンに換算することは出来ますか？

また中心角をパラメータにした、切り取られた球の表面積を導出することは出来ますでしょうか？

お暇な折にでも回答いただけたら幸いに存じます。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/01/16 19:51

#1です。

A#1の補足の回答
球では半径rは分かりますが、中心角の定義がはっきりしません。

円では半径や中心角θは用語が定義されています。
球を球の中心を通る平面で、球の表面を切断した切断面の円（大円）に対しての中心角θを使うなら、簡単のため半径を1として
x^2+y^2=1の切断面の円の式に対して
y'=-x/√(1-x^2)
√(1+y'^2)=√(1+x^2/(1-x^2))=1/√(1-x^2)
回転体の曲面の表面面積公式
S=2π∫[cos(θ/2),1] y√(1+(y')^2)dx
=2π∫[cos(θ/2),1] dx=2π{1-cos(θ)}
これは半径1[m]の球を円錐面（頂点が球の中心にある円錐面）で切り取られた球の表面積S[m^2]ですが、球の半径が1[m]なのでそのまま、球の表面表面積Sに対する立体角ω[sr]になります。
ω=2π{1-cos(θ)} [sr]

この式で
θ=π（半球）のとき　ω=2π[sr]
θ=2π（全球）のとき　ω=4π[sr]
がでてきて、実際とあっていることが確認できます。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
これです！これが知りたかったんです。

心より感謝いたします。

お礼日時：2009/01/17 15:07

No.2 回答者： felicior 回答日時： 2009/01/14 00:10

度やラジアンは平面角、ステラジアンは立体角の単位なので

無条件に相互変換するのは不可能です。
何か特殊な状況を想定しているならば可能かもしれませんが…

後半のご質問はステラジアンの定義そのものです。
１ステラジアンは単位球(半径１の球)の中心から、
球面上の面積１の範囲を眺める立体角と決まっているので、
Ωステラジアンの中心立体角は半径Ｒの球面をΩＲ^2の面積だけ切り取ります。
(ご質問には「中心角」となっていましたが。)

蛇足ですが、ステラジアンはラジアンを立体に拡張したものですが、
度を拡張したものに平方度という単位があります。

この回答へのお礼

すいません。言葉足らずで…

実は特殊な状況を想定していたのですが、うまく説明できませんでした。

親切なお心に感謝いたします。ありがとうございました。

お礼日時：2009/01/16 18:06

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/01/14 00:07

>ラジアンや度をステラジアンに換算することは出来ますか？

出来ません。

ラジアンとステラジアンの関係は
長さ[m]と面積[m^2,平米]との関係のようなものです。

>また中心角をパラメータにした、切り取られた球の表面積を導出することは出来ますでしょうか？
ここでの中心角が円におけるラジアン単位（または度単位）の平面の角なら不可能です。

半径rに平面角（ラジアン角）θを掛けると、円弧の長さLになります。
rθ=L
また、平面上の角θは
θ=L/r
で与えられます。
特にr=1の時、θ=L[rad,ラジアン]となります。
また円の全周の平面角θは
θ=(2πr)/r=2π[rad]
です。

立体角φ[sr(ステラジアン)]は、球の表面の面積S,球の半径rとすると
φ=S/r^2
で与えられます。
球の全表面の立体角φは
φ=(4πr^2)/r^2=4π[sr]
です。
半径1[m]の球の表面の1[m^2(平米)]を
球の中心から見た立体角φが
φ=1[sr]です。

お分かりでしょうか？

この回答への補足

ご回答、ありがとうございます。

球の表面の面積Sを、ステラジアンを使わずに導出するにはどうすればいいでしょうか？

半径ｒを中心角θで廻して出来る、錐状の球の一部の表面積を求めたいです。

拙い説明ですいません。

補足日時：2009/01/16 17:57