パスカルの蝸牛曲線

歴史曲線で有名な、「パスカルの蝸牛曲線」を３次元方程式にしてみたいのですが、どのように考えたらよいのでしょうか？？

「パスカルの蝸牛曲線」は

(x^2 + y^2 - 2ax)^2 - b^2(x^2 + y^2) = 0

で表されています。y^2の部分を「y^2 + z^2 + C」のような形にすれば良いのでしょうか？？計算方法をよろしくお願いします。

No.1 回答者： mikan_otoko 回答日時： 2005/09/12 00:18

どのような曲面を作りたいのかわかりません。

実際の蝸牛みたいな曲面を作りたいのか
球体みたいな曲面を作りたいのかどっちでしょうか？

この回答への補足

＞実際の蝸牛みたいな曲面を作りたいのか
球体みたいな曲面を作りたいのかどっちでしょうか？

球体みたいな曲面というのが、どんなかちょっと想像できないのですが、
実際の蝸牛みたいな曲面を作りたいです。

補足日時：2005/09/12 01:30

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2005/09/12 03:34

＞「パスカルの蝸牛曲線」を３次元方程式にしてみたいのですが、

パスカルの蝸牛曲線のグラフはご存知ですね。
→http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/ …

蝸牛のような曲面を表すにはXYZ座標系は余り適していません。
パスカルの蝸牛曲線の元の曲線の式は2次元の極座標表示では以下のように簡単な式で表されます。
r = b + 2a cosθ
ここでXY座標系との関係は以下の通りです。
x = r cosθ，y = r sinθ

蝸牛曲線を3次元に拡張するために3次元の極座標系(r,θ,φ)と3次元のXYZ座標系との関係
x = r cosθcosφ, y = r sinθcosφ, z = r sinφ
を使って、このrに蝸牛曲線の関係を適用してやります。

x = (b + 2a cosθ)cosθcosφ,
y = (b + 2a cosθ)sinθcosφ,
z = (b + 2a cosθ)sinφ　　　...（A)
（これば、一種の蝸牛曲面の媒介変数表示とみなせます。）

このx,y,zの式からθとφを消去してやるとx,y,zの蝸牛曲線を拡張した一種の蝸牛曲面方程式が導出できます。
xyzの方程式にしたければ
(sinθ)^2 +(cosθ)^2 = 1など
の関係式を利用して消去してやれば導出できます。興味があればやってみてください。ただし、x,y,zの方程式に直しても曲面のグラフは描けません。

この3次元の曲面のグラフを描くには、(A)のx,y,zの式をθとφを媒介変数と考えてXYZ平面にプロットしてやれば良いですね。（3次元媒介変数によるメッシュプロット）
例えばa = 2b =2の場合、θを-π～π,刻みπ/10,φも-π～π,刻みπ/10と変化させ(x,y,z)をプロットすれば局面の外形が描けます。
数学ソフトMathematica（Maple、Matlabでも可能）を使えば蝸牛のような曲面が簡単に描けます。
Mathematicaの場合はParametricPlot3D[.]関数で描画できます。

下記参考URLの無料グラフィックソフト「GNUPLOT」でも、少し使いづらいですが（無料ということで多少不自由でも仕方が無いですね）、3次元プロットで曲面が描けます。
→http://t16web.lanl.gov/Kawano/gnuplot/spherical_ …
上記蝸牛曲面のプロットを見てみたいなら、数学（グラフィック）ソフトをパソコンにインストールして、上記の媒介変数表示のメッシュプロットをしてみてください。(a,b)の組み合わせを色々変えて見ると蝸牛曲面が変わり興味が沸きますよ。

注）Mathematica(日本語Windows版の学生版）は税込みで3万円強で購入できます。)

分からないとことがあれば補足で質問ください。

参考URL：http://t16web.lanl.gov/Kawano/gnuplot/index.html