調和多項式に関する次のような補題を考えています。
________________________
H:調和多項式の全体
Hk:Hのk次斉次式全体
としたとき、HはHkの和としてただ一通りに
表される(直和)
つまり、
H=ΣHk(Σはk=0から∞までの和)
________________________
【質問1】
ただ一通りの和として書けることを示すためには、
f(x)∈Hをとり、
f(x)=Σhk(x)=Σh'k(x) …(1)
(※Σはk=0から∞までの和、hk(x),h'k(x)∈Hk)
としたとき、hk(x)=h'k(x)を示せばいいと考えたのですが、これはほぼ明らかとのこと。なぜ明らかなのでしょうか?
【質問2】
また(1)に関して、この和はk=0から∞までの和なので
無限和のように思えますが、実際はf(x)が多項式のため、ゼロでないhk(x)は有限個らしいのですが、これはどうしてでしょう?
(ゼロでないhk(x)は有限個なので、ほとんどのhk(x)がゼロであり、このhk(x)をf(x)∈Hのk次斉次成分と呼ぶらしいのですが、こう呼ぶ理由も知りたいです。)
【質問3】
質問1の部分が分かれば、この補題の証明は終わりだと思ったのですが、それでは不完全で、この補題の証明はf(x)∈Hに対して
f(x)=Σhk(x) (※deghk(x)=k)
と一通りに書いたときに、hk(x)∈Hであることを調べ
なければならないようです。
hk(x)∈Hkであり、HkはHのk次斉次式全体なので
hk(x)∈Hは明らかなのではないかと思ったのですが、
そう簡単にはいえないのでしょうか。
また、この補題の証明で、なぜhk(x)∈Hであることを調べなければならないのでしょうか。
以上3つが質問です。長くなってしまいましたが、回答よろしくお願い致します。
A 回答 (1件)
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No.1
- 回答日時:
【質問1】
ほとんど明らかですが、形式的に示すならば例えば3変数のとき、
ΣArst x^r y^s z^t = ΣBrst x^r y^s z^t
が成立する時、任意のr,s,tについて両辺を
∂^n/∂^r∂^s∂^t (n=r+s+t)で微分してx=y=z=0とおけば Arst = Brst が示されます。
【質問2】
ゼロでないhk(x)が有限個でないとすればΣhk(x)は無限次の多項式(多項式とは通常呼びませんが)になってしまいます。有限次の多項式と無限次の多項式は等しくなりません。
【質問3】
hk(x)∈HkがHに属していることを示す必要はもちろんありませんが、任意の f(x)∈H を同次成分に分解したとき、各同次成分がHに属することを示す必要があります。つまり、uがある次数の同次多項式、vがそれとは異なる次数の同次多項式で、Δu≠0, Δv≠0, だがΔ(u+v)=0 となるようなことはないということです。
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