螺旋階段

妙に螺旋階段の階段部分の面積を求めたいです。
自分は台形の面積の求め方である(上底+下底)×高さ÷2で良いんじゃないのって思ったんですが、全く違うことに気付きました。
もうお手上げです。知見のある方求め方をお教えください。

No.6 ベストアンサー 回答者： at9_am 回答日時： 2006/04/07 02:37

＃４です。

> 詳しくは螺旋滑り台なんです

とのことですが、次のように近似的に考えることが出来ると思います。

まず、次のような螺旋階段を考えましょう。一周 n 段で上がる高さは a [m] です。内円の半径は r、外円の半径は R とします。
すると踏み板は上底 2πr/n、下底 2πR/n、高さ(R-r)の台形に、また背板は幅(R-r)、高さ a/n の長方形になるはずです。

ここで踏み板と背板の寸法が分かっているので、踏み板と背板を二面とした三角台(三角錐の頭を切った物体)を考えることができます。こうすれば、残りの側面の面積を
b = 1/n √(2πr + a)
B = 1/n √(2πR + a)
とおくと
d = 1/2 (R-r)(b+B)
= 1/2n (R-r) [ √(2πr + a)+√(2πR + a)]
と計算することが出来ます。

したがって、一周当たりの面積は
D = nd = 1/2 (R-r) [ √(2πr + a)+√(2πR + a)]
と計算できます。


尤も、言うまでもなくこの計算は近似計算です。いくつかの点について、無視しているファクターがあります。例えばこのdで表される部分は正確には曲面でなければなりませんが直線として扱っていますし、三角台も上底と下底が曲面ではなく平面として扱っています。

No.5 回答者： wizard_calgamo 回答日時： 2006/04/02 21:42

幅が全く変わらないと勝手に仮定します。

中心から螺旋の内側までの長さをa、
中心から螺旋の外側までの長さをb、
螺旋がs周、滑り台の角度がθとすると

π(b^2-a^2)*s/cosθ

でいいのではないでしょうか。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2006/05/14 10:35

No.4 回答者： at9_am 回答日時： 2006/04/02 19:50

螺旋階段の階段部分(足で踏む部分)は、基本的に重なっても透き間が空いていてもいません。

したがって、螺旋階段が太くも細くもなっていない円柱であったとすれば、何周したかが分かれば簡単にその面積を求めることが出来ます。また一周の段数がわかれば、一段毎の面積も容易にわかります。
また背板の部分(人が乗らない段と段の間の板)は、一段の幅と、一周であがる高さの段数分の１の高さを持つ長方形になります。

この回答への補足

すみません。
詳しくは螺旋滑り台なんです。申し訳ありません。

補足日時：2006/04/05 21:12

No.3 回答者： tatsumi01 回答日時： 2006/04/02 18:40

近似的には、螺旋滑り台の中心線の長さを求め、滑り台の幅を乗ずれば良いでしょう（最初から終わりまで等幅とした場合）。

中心線の螺旋が方程式で表されれば、長さは積分によって求まります。ただ、３次元螺旋になるでしょうから、式で表せても積分は難しそうです。

この回答への補足

そうなんですよ。3次元螺旋の長さが分かれば簡単なんです。

補足日時：2006/04/05 21:13

No.2 回答者： tatsumi01 回答日時： 2006/04/02 01:47

どこが「全く違うこと」なんでしょうか。

「螺旋階段の階段部分の面積」の定義がわかりません。階段の一つのステップの面積なら、書かれている「(上底+下底)×高さ÷2」で近似できます。ステップ全体の面積ならステップ数を掛ければ求まります。
上から見た螺旋階段の部分の投影面積なら、外側半径をＡ、内側半径をＢとして、面積Ｓ＝π（Ａ^2－Ｂ^2）となります。
螺旋階段の投影面積の全体なら、Ｓに回っている回数を掛ければ良いでしょう。

この回答への補足

すみません。
問題がおかしかったです。
正確には螺旋滑り台です。
でもやはり台形の面積をかけて近似値を求めてやるしかないのでしょうか。

補足日時：2006/04/02 10:29

No.1 回答者： debut 回答日時： 2006/04/02 01:43

階段の外側部分が丸まっているから台形の公式ではではない　ということ

でしょうか。
扇形の面積の求め方ではないでしょうか？
扇形の面積＝半径×半径×π(または3.14)×(中心角/360°)
　　　　　　または、(１/２)×半径×弧の長さ

すると、階段１段分は
直線部分の長さ×直線部分の長さ×3.14×(２つの直線がなす角度/360°)
または
(１/２)×直線部分の長さ×外側の曲線部分の長さ
で面積は求められるでしょう。

ただ、階段の内側部分の形状（丸く欠けていたり）にもよるので、これ
だけでは不正確だと思いますが・・

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
問題の書き方が悪かったです。
実は螺旋階段ではなく、螺旋滑り台です！
でも、近似値として扱えば問題にはならないレベルですよね？

補足日時：2006/04/02 10:27