中学数学　図形の移動　

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質問者：yusns
質問日時：2013/10/07 11:30
回答数：3件

半径6cmの半円が図のように1回転して転がる時に通る部分の面積を
計算しなさい。

はじめのところの直径が垂直に立つまでと、終わりのところの垂直の
ときから直線に接するまではもちろん分かりますが、半円の弧が直線
に接して転がる部分の面積の出し方がわかりません。
中心角60°や90°の扇形ならば、弧の部分が直線上を転がるとき
扇形の中心は直線になって移動するので面積がだせますが、
この場合は、直径と弧の交点の移動がどうなるのかよくわからない
ので、面積が出せません。

詳しく教えていただきたく、よろしくお願い致します。

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回答 (3件)

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No.3ベストアンサー

回答者： ORUKA1951
回答日時：2013/10/07 18:40

前半の1/4回転と後半の1/4回転は、半円の面積ですが、1/4回転～3/4回転はサイクロイド曲線になります。

しかも1/4回転(π/2)～1/2回転(π)までのものを反転した物が1/2～3/4回転です。
　サイクロイド曲線の面積は、中学校では習いません。高校で積分を習ってからになります。

1/2π～πの面積(下記)を倍した物を、前後の半円の体積に加える。

サイクロイド部分の面積は・・
Textで書くと
a^{2}\left[\frac{3}{2}\theta - 2\sin\theta + \frac{1}{4}\sin2\theta\right]_{\frac{1}{4}\pi}^{\pi}

MathMLだと--HTML5として書くと
★タブは＿に置換してあるので戻す。

<!doctype html>
<html>
<head>
＿<meta charset="utf-8">
＿<title>サンプル</title>
＿<meta name="description" content="">
＿<meta name="author" content="IRUKA">
<style>

</style>
</head>
<body>
＿<section>
＿＿<h2>A smaller heading</h2>
＿＿<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
＿＿＿<mstyle displaystyle="true">
＿＿＿＿<msup>
＿＿＿＿＿<mrow>
＿＿＿＿＿＿<mi> a </mi>
＿＿＿＿＿</mrow>
＿＿＿＿＿<mrow>
＿＿＿＿＿＿<mn> 2 </mn>
＿＿＿＿＿</mrow>
＿＿＿＿</msup>
＿＿＿＿<msubsup>
＿＿＿＿＿<mrow>
＿＿＿＿＿＿<mfenced open="[" close="]">
＿＿＿＿＿＿＿<mrow>
＿＿＿＿＿＿＿＿<mfrac>
＿＿＿＿＿＿＿＿＿<mrow>
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿<mn> 3 </mn>
＿＿＿＿＿＿＿＿＿</mrow>
＿＿＿＿＿＿＿＿＿<mrow>
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿<mn> 2 </mn>
＿＿＿＿＿＿＿＿＿</mrow>
＿＿＿＿＿＿＿＿</mfrac>
＿＿＿＿＿＿＿＿<mi> θ</mi>
＿＿＿＿＿＿＿＿<mo> - </mo>
＿＿＿＿＿＿＿＿<mn> 2 </mn>
＿＿＿＿＿＿＿＿<mi> sin </mi>
＿＿＿＿＿＿＿＿<mi> θ</mi>
＿＿＿＿＿＿＿＿<mo> + </mo>
＿＿＿＿＿＿＿＿<mfrac>
＿＿＿＿＿＿＿＿＿<mrow>
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿<mn> 1 </mn>
＿＿＿＿＿＿＿＿＿</mrow>
＿＿＿＿＿＿＿＿＿<mrow>
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿<mn> 4 </mn>
＿＿＿＿＿＿＿＿＿</mrow>
＿＿＿＿＿＿＿＿</mfrac>
＿＿＿＿＿＿＿＿<mi> sin </mi>
＿＿＿＿＿＿＿＿<mn> 2 </mn>
＿＿＿＿＿＿＿＿<mi> θ</mi>
＿＿＿＿＿＿＿</mrow>
＿＿＿＿＿＿</mfenced>
＿＿＿＿＿</mrow>
＿＿＿＿＿<mrow>
＿＿＿＿＿＿<mfrac>
＿＿＿＿＿＿＿<mrow>
＿＿＿＿＿＿＿＿<mn> 1 </mn>
＿＿＿＿＿＿＿</mrow>
＿＿＿＿＿＿＿<mrow>
＿＿＿＿＿＿＿＿<mn> 2 </mn>
＿＿＿＿＿＿＿</mrow>
＿＿＿＿＿＿</mfrac>
＿＿＿＿＿＿<mi>π</mi>
＿＿＿＿＿</mrow>
＿＿＿＿＿<mrow>
＿＿＿＿＿＿<mi> π</mi>
＿＿＿＿＿</mrow>
＿＿＿＿</msubsup>
＿＿＿</mstyle>
＿＿</math>
＿</section>
</body>
</html>

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この回答へのお礼

親切に教えていただき、ありがとうございます。
サイクロイド曲線という名前だけは知っていましたが、これがサイクロイド曲線になり、
しかもこんなに難しいことになるとは思ってもいませんでした。
とっても詳しく書いていただいたのに、私にはまるでチンプンカンプンで、本当に恐縮
いたしております。
おかげで、中学数学では到底解けない問題だということがはっきりとわかりました。
このように多大なご労力をいただきましたことに、心より御礼申し上げます。
本当にありがとうございました。

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お礼日時：2013/10/07 19:39