北緯４５度以北の表面積は？

地球を完全な球とすると、北半球の表面積に対する、北緯４５度以北の表面積の割合は、いくつでしょうか。
北緯４５度以北とは、角度では北半球全体の半分でも、表面積では圧倒的に下半分（赤道～北緯４５度線までの表面積）の方が広いことは、視覚的にわかります。これを、正確に求める計算方法を教えてください。

ちなみに、二次元においては、１／４円O-ABの中心Oから、弦OAに対して４５°方向に伸ばした半径が、弧に接する点をＭとして、点Ｍから弦ＯＡと平行に引いた直線をＮＭとする時、
ＯＡＭＮ：ＭＮＢ＝π＋２：π－２
であっているでしょうか？

No.6 回答者： info22_ 回答日時： 2013/05/01 10:24

#2,#5です。

A#4での#4さんの指摘について

再チェックの結果
A#2の計算の訂正と（A#4の指摘通りでしたので）A#5の撤回をさせて頂きます。

訂正箇所
>>#2
>球面座標による面積積分公式なんてものを持ち出すのはいいけど，どうせなら計算も正確にしてあげたらどうかなあ。

計算ミスがありました。

>S1=∫[0,2π]dφ∫[0,π/4] (R^2)sinθdθ
>　=2π(R^2)[-cosθ][0,π/4]
>　=2π(R^2)[1-1/√2]
>　=(√2-1)πR^2 ←これ間違い
正:=(2-√2)π(R^2)

従ってこれ↓は
>S1/S=(√2-1)/2≒0.2071…
正:S1/S=(2-√2)/2≒0.29289…
となります。

再計算の結果、A#4の主張が正しいことが確認できましたので
A#5は撤回させて頂きます。A#5は削除願います。

#4さん、ごめんなさい。大変失礼しました。

なお、
>地球を完全な球として，赤道に平行な面で輪切りにすれば，それぞれの側面の面積はそれぞれの幅に比例します。

これも積分計算して確認して見ました。
輪切りの厚さ（幅）をdとすると
側面の面積=2πRd　（Rは球面の半径）
となって
側面（球面の一部）の面積が
輪切りの厚さ（幅）dに比例すること
が確認できました。

このことを知っていなければ、やはり積分でしょうね。
表面積はA#2で用いた球座標による面積公式で計算しましたが
回転体の表面積の公式を使って
　S1=2π∫[R/√2,R]|y|√(1+(y')^2)dx,
ここで,y=√(R^2-x^2),y'=-x/√(R^2-x^2)
　S1=2π∫[R/√2,R] Rdx=2πR[R-R/√2]=π(R^2)(2-√2)
　S1/S=S1/(2πR^2)=(2-√2)/2
と求めることもできます、

No.5 回答者： info22_ 回答日時： 2013/04/30 23:36

#2です。

A#4は間違いです。

#4さんの
「地球を完全な球として，赤道に平行な面で輪切りにすれば，それぞれの側面の面積はそれぞれの幅に比例します。」
これは嘘です。
従って、この嘘から導いた
「前者に対する後者の表面積の割合は(1-1/√2)=(2-√2)/2になります。」
これは間違い。

#4さん
A#2についての間違った指摘は撤回して欲しいものです。
>>#2
>球面座標による面積積分公式なんてものを持ち出すのはいいけど，どうせなら計算も正確にしてあげたらどうかなあ。

計算は正確だろ。他人の計算を誤りと決め付ける前に、自身の誤りがないかチェックしなよ。

No.4 回答者： f272 回答日時： 2013/04/30 19:08

地球を完全な球として，赤道に平行な面で輪切りにすれば，それぞれの側面の面積はそれぞれの幅に比例します。

地球の半径をRとすれば，
北半球に相当する部分は，赤道から測って0からRまでの距離であり，幅はRです。
北緯45度以北に相当する部分は，赤道から測ってRsin(45度)からRまでの距離であり，幅はR(1-1/√2)です。
したがって前者に対する後者の表面積の割合は(1-1/√2)=(2-√2)/2になります。

>#3
やっていることは正しいけど，どうせなら正確な数値にしてあげたらどうかなあ。
>#2
球面座標による面積積分公式なんてものを持ち出すのはいいけど，どうせなら計算も正確にしてあげたらどうかなあ。

No.3 回答者： mide 回答日時： 2013/04/30 14:33

球面上の円の面積は，中心から円周への（球面上でなく円の内部を通る）距離を半径とする平面上の円の面積に等しいという性質があります。

北極から北緯４５度までの直線の長さは，円に内接する八角形の一辺と同じですから，どういう計算がいいですかね，たとえば半径rとして余弦定理を使えば

√(r^2+r^2-2r・r・cos(45°)) ≒ 0.765r

それを半径とする平面状の円の面積は π・(0.765r)^2

球の表面積は 4πr^2 なので，これは球の表面積のおよそ7分の1です。

地球の半径を6370kmとすれば約7193万平方km2ほどでしょうか。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/04/30 11:23

前半の考え方

[参考]ttp://szksrv.isc.chubu.ac.jp/xml/coordinate/coordi3b.xml
北半球の表面積に対する、北緯45度以北の表面積の割合
地球の半径R,S=北半球の表面積,S1=北緯45度以北の表面積
とおくと
S=4πR^2/2=2πR^2
球面座標による面積積分公式より
S1=∫[0,2π]dφ∫[0,π/4] (R^2)sinθdθ
　=2π(R^2)[-cosθ][0,π/4]
　=2π(R^2)[1-1/√2]
　=(√2-1)πR^2
S1/S=(√2-1)/2≒0.2071…

後半の質問の確認
>ＯＡＭＮ：ＭＮＢ
これは２つの平面図形の面積比ですか？

>弦OA
これは半径OAではないですか？

No.1 回答者： noname#182106 回答日時： 2013/04/30 10:53

積分を使っていいんですか？