無矛盾性

「∃xP(x)と￢∃xP(x)とが同時に証明されるような論理式Pが存在しないこと」がなぜ“無矛盾性”になるのか、いまいち納得できません。

何となく
∃xP(x)、￢∃xP(x)、￢￢∃xP(x)・・・
とどうどう巡りになることが問題なのかな？と思ったりもするのですが。

なるべく分かりやすいことばで説明していただけませんか？

No.2 回答者： yuntanach 回答日時： 2006/06/05 11:03

(Ａ∧￢Ａ)→Ｂがトートロジー、つまりどんな論理式

ＡやＢを当てはめても成り立つ論理式であることを
利用すると、論理式Ａとその否定￢Ａが成り立つと、
任意の論理式Ｂが成り立つことなります。

つまり、論理式Ａとその否定￢Ａが同時に成り立つ
ような体系では、どんな結論でも欲しがままなわけです。
どんな結論でも導けるような体系はふつうに考えれば、
なにか特殊な論理学の研究のために考える以外には、
実用上の問題としては使いものにはなりません。

そのようなことから論理式Ａとその否定￢Ａが同時に
成り立つ場合を「矛盾」といってとくに区別して
言い表していおり、逆にそうでないことを「無矛盾」と
してそのその体系が(上記の「ふつう」の意味で)使える
ものであることを言い表しているのです。

そのようなわけで、論理式Ａとその否定￢Ａが同時には
成り立たないことを無矛盾性というわけです。

以上の話は、ご質問の術語論理での話ではなく、
その前段階の命題論理での話でしたが、術語論理に
おいてもその扱いが多少ややこしくなること以外、
基本的におなじ考え方です。

また、ここまで「矛盾」がなにやら諸悪の根源であるか
のような言いようで書きましたが、論理学における
「矛盾」とは何かを研究することは論理学の基礎を
構築するうえで大事な研究対象であることを付け加えて
おきます。

No.1 回答者： N64 回答日時： 2006/06/05 09:08

数学のことは、もうよく覚えていませんが、若いころ、背理法というのを習いました。

「Aである。」と仮定して「Aでない。」を導くと、「Aである。」と「Aでない。」が同時に成り立つので、矛盾しているということだった、と思います。