A 回答 (3件)
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No.2
- 回答日時:
こんな感じになりました.
# 解答方針はあっていると思うのですが、
# あまり答えに自信はありません.
三角形ABC の各辺を 2:3 に内分する点を D、E、F
とします.
(AD:DB = BE:EC = CF:FC = 2:3)
線分CD と 線分AE の交わる点を X
線分BF と 線分AE の交わる点を Y
線分BF と 線分CD の交わる点を Z
==
点E より 線分CD に平行な線を引き、線分 AB と
交わる点を G とします.
AD:DB = 2:3 --- (1)
BE:EC = 2:3 より
BG:GD = 2:3 --- (2)
(1)、(2)より AD:DG = 10:9 となる.
また、AX:XE=10:9
三角形AECの面積は三角形ABCの3/5
三角形AXCの面積は三角形AECの10/19
よって、三角形AXCの面積は三角形ABCの6/19
同様に、三角形BZC、三角形AYBの面積もわかるので、
三角形ABCから、三角形XYZを除いた部分の
面積は、三角形ABCの面積の18/19 となる.
よって、三角形XYZは三角形ABCの 1/19 となる.
==
以上.
No.3
- 回答日時:
この手の問題を幾何的に(比を使って)解くには「チェバの定理」や「メネラウスの定理」を使うと便利です。
(私は高校受験参考書で覚えたのですが、指導要項が当時と変わっているため、学校で習うのかどうかは不明です。しかし大変便利なので、ぜひ覚えておいたほうがよいでしょう。)
まずは定理の紹介から。(証明は省略)
三角形ABCの辺ABの内分点をD、辺BCの内分点をEとし、線分CDと線分AEの交点をGとする。
「メネラウスの定理」
(DB/AD)*(CE/BC)*(AG/GE)=1
同様に
(BE/EC)*(AD/AB)*(CG/GD)=1
「チェバの定理」
さらに直線BGと辺CAの交点をFとすると
(DB/AD)*(EC/BE)*(FA/CF)=1
#2のslackwareさんの方法をこの定理を使って考えると、どこに補助線を引いたらよいかを考えなくても解けてしまいます。
AX/XEが求めたければ、線分ADB、線分BEC、線分AXEに対してメネラウスの定理を使います。
(DB/AD)*(EC/BC)*(AX/XE)=1
今DB:AD=3:2、EC:BC=EC:(BE+EC)=3:5なので、
(3/2)*(3/5)*(AX/XE)=1
よって、AX/XE=10/9
ここから先の計算は同じで、
答えはΔABCΔXYZ=19:1となります。
別解としてベクトルを用いる場合。
ベクトル記号が書きにくいので、ここではAからBへのベクトルを「AB→」と書きます。
また、図形上の各点の名前は#2slackwareさんが定義されたものをそのまま使います。
[解答]
AB→とAC→を基準にして表すことにする。
AX→ = t*AD→ + (1-t)*AC→
= (2t/5)*AB→ + (1-t)*AC→
一方、
AX→ = k*AE→
= k*{(3/5)*AB→ + (2/5)*AC→}
よってk=10/19となり、
(ちなみにこれでAX:XE=10:9が示されたので、ここから幾何的に解いてもOKです。)
AX→ = (6/19)*AB→ + (4/19)*AC→
次に
AY→ = t*AB→ + (1-t)*AF→
= t*AB→ + (3/5)*(1-t)*AC→
一方、
AY→ = k*AE→
= k*{(3/5)*AB→ + (2/5)*AC→}
よってk=15/19となり、
AY→ = (9/19)*AB→ + (6/19)*AC→
次に
AZ→ = t*AD→ + (1-t)*AC→
= (2t/5)*AB→ + (1-t)*AC→
一方、
AZ→ = s*AB→ + (1-s)*AF→
= s*AB→ + (3/5)*(1-s)*AC→
よってt=10/19となり、
AZ→ = (4/19)*AB→ + (9/19)*AC→
さて、以上より
XY→ = AY→ - AX→
= (3/19)*AB→ + (2/19)*AC→
XZ→ = AZ→ - AX→
= (-2/19)*AB→ + (5/19)*AC→
さてΔXYZの面積を求めると、
ΔXYZ = (1/2)*|XY→ x XZ→|
= (1/2)*{(15+4)/19^2}*|AB→ x AC→|
= (1/19)*(1/2)*|AB→ x AC→|
= (1/19)*ΔABC
よって、ΔABC:ΔXYZ=19:1
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