三角比の分母の有理化

計算問題などの答えで分母に無理数がでたときは必ず分母を有理化しなければならないのに、三角比の値は分母に無理数があるままで正解（例：ｓｉｎ４５＝ルート２分の１）になるのはなぜでしょう？

No.4 ベストアンサー 回答者： pyon1956 回答日時： 2006/08/30 06:25

そもそもなぜ有理化しなければいけないか、を考えてみましょう。

もっとも意味があるのは筆算で近似値を求める場合です。1÷1.414と、1.414÷2はどちらが計算しやすいでしょうか？明らかに後者ですね。
つまり、1/√2でも√2/2でも数学的には同じものだし、有理化しなければまずい、ということはありませんが、筆算で近似値を求めるなら別だ、ということです。
一方、三角比の場合、#3さんの仰る直角三角形の辺の比が起源で、確かに中三で1:2:√3の三角形と1:1:√2の三角形というのを習いますから、その数字を使うと三角比の場合自然に分母に√が残った形になります。それを直させる場合、直す過程で計算ミスする場合もあるので、ありがたくありません。というわけで直さない場合もある、ということです。こういうのは教育上の配慮です。
　もっとも、どうせ小数で数値計算する場合なら、高校なら教科書巻末の三角比の表を使いますし（この場合筆算を強制されるので有理化できた方が楽な場合あり）、実用なら関数電卓やコンピューターを使うので、有理化するかどうかは臨機応変ということです。常に有理化せよ、というのも正しくなくて、例えば2次関数の解の公式による解法では、コンピューターの場合計算の誤差を少なくする意味で
x=(-b±√(b^2-4ac))/2a
ではなく
x=2c/(-b±b^2-4ac)
といういわば「逆有理化」した式を使った方が良い場合もあります。
結局これは理念的にはどちらでも良くて、また実用するつもりなら両方出来ないと不都合です。
教育上の配慮の場合、学校によっても違いますし、教師という人種（私もそうなのですが）はかたくなな性格のものも多く、無意味に「こうでなければならぬ」というのを振りかざす人もいるので面倒ですが。
それと計算問題などの答で有理化を強制されているのは、有理化を練習する単元でもあるからです。

この回答へのお礼

本来の有理化の目的がよくわかりました。ありがとうございます。ただ、高校生のテストレベルに限って考えた場合、正解か不正解かの基準としての有理化の必要性は、少しあいまいな気がします…

お礼日時：2006/08/30 08:40

No.3 回答者： mangou-kutta 回答日時： 2006/08/29 22:33

三角比では直角三角形の辺の比が念頭にあるからです。

45°の直角三角形は1:1:√2 が一番単純なあらわし方ですのでそれと直結する表現をとっています。
もちろん(√2)/2と有理化しても正解です。

ちなみに
ｓｉｎ４５＝ルート２分の１とかくと誤りになります。
sin45°と必ず度数の表現を入れましょう。
°を入れないとラジアンという弧度法表現の意味になります。

この回答へのお礼

比の概念ということですね。ありがとうございました。

お礼日時：2006/08/30 08:35

No.2 回答者： muya77 回答日時： 2006/08/29 22:27

これは指導する先生にも拠ると思います。

実際、私の高校時代の先生や塾の先生は
sin45＝√2/2まで変形するように習いました。

テスト等で答えの形が定められている場合はその形に
変形しなければなりませんが、問題の解としてはどちらでも正解です。
（センター試験などではマークシートの関係で√ア/イなどという形で答え方が決められているので）

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

お礼日時：2006/08/30 08:33

No.1 回答者： orange-13 回答日時： 2006/08/29 22:26

ダメってより、

ただ分母に√があると計算できないからじゃないでしょうか？？

三角関数だとそれ以上計算の必要はないですから。

この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございました

お礼日時：2006/08/30 08:32