行列の証明問題 (固有値と固有ベクトルの性質)

行列A=[a(jk)](j:行 k:列 )に関する諸命題を証明し、適当な例を用いて説明せよ。

ただし、λ(1),・・・,λ(n)はAの固有値とする。I:単位行列

(a)実固有値と複素固有値

　Aが実行列のときには、その固有値は実数または共役複素数の対からなる。

(b)逆行列

　逆行列A^(-1)は0がAの固有値でないとき、またそのときに限り存在する。
　その固有値は1/λ(1),・・・,1/λnである。

(c)トレース

　Aの対角成分の和をトレースまたは対角和という。これは固有値の和に等しい。

(d)スペクトル移動

　行列A-kIは固有値λ(1)-k,・・・,λ(n)-kをもち,Aと同じ固有ベクトルをもつ。

(e)スカラー倍、ベキ

　行列kAの固有値はkλ(1),・・・,kλ(n)であり、行列A^m(m=1,2・・)の固有値は
　λ(1)^m,・・・,λ(n)^mである。固有関数はいずれもAの固有関数と同じである。

(f)スペクトル写像定理　　’多項式行列’

　p(A)=k(m)A^m＋k(m-1)A^(m-1)＋・・・+k(1)A＋k(0)I　は固有値
　
　p(λj)=k(m)λj^m＋k(m-1)λj^(m-1)＋・・・＋k(1)λ(1)^(m-1)＋k(0) (j=1,・・・,n)
をもち、Aと同じ固有関数をもつ。

(g)ペロンの定理

　正の成分l(12),l(13),l(31),l(32)をもつレスリー行列Lには１つの正の固有値が
　存在することを示せ。



これらの問題(証明)が難しくて分かりません。教えて下さい、お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2006/12/26 13:08

えっと... (g) 以外は全然難しくないです. ヒントだけ:

(a): 実行列の固有方程式は (実係数多項式) = 0 の形になります.
(b) の前半: 逆行列は逆写像に対応することを考えて, A が固有値 0 を持つときには逆像が一意にならないことを示す.
(b) の後半, (d)～(f): A の固有値 λ に対応する固有ベクトルを x とする. 考えている行列の固有値と固有ベクトルはどのように書けるでしょうか. ちなみに, まじめに考えるにはきちんと固有空間に分解しておく方が吉.
(c): 固有方程式における解と係数の関係.
(g) は... レスリー行列って何だ?

この回答へのお礼

ヒントありがとうございます。助かりました

お礼日時：2006/12/26 21:00

No.1 回答者： tatsumi01 回答日時： 2006/12/25 23:47

問題の丸投げは禁止されています。

tarepan さんがどこまで考えたかを説明し、その上で進まない原因を尋ねて下さい。

以下は質問を読んだ感想です。
(1) tarepan さんのまずやるべきこと。教科書およびノートを良く見直す。
こんな問題がいきなり出るわけがない。必ず講義で基本を教えています。講義で説明しきれないところは教科書をよく読めば必ず書いてあります。
(2) tarepan さんが授業に出ていなかったら仕方ありません。１回の欠席が不合格につながることは良くあることです。ノートは借りるなどして、教科書とともによく見直して下さい。
(3) tarepan さんが次にすべきこと。図書館で「線形代数」の教科書・参考書を借りてよく勉強して下さい。斉藤正彦著「線型代数入門」などが有名です。

一般論ですが、講義１コマ（１時間半）に対して、予習１時間半と復習１時間半が必要とされています。本気で勉強したいなら、バイトやサークルに費やす時間はないと思って下さい。

この回答への補足

ほんとすいません。気をつけます


(b)についてですが

考えたことは　x:ベクトル

Ax=λx
x=A^(-1)Ax=A^(-1)(λx)=λA^(-1)x
λ^(-1)x=A^(-1)x ここから先が・・・

(c) trA=Σa(jj) (j=1からnまで)

　ΦA(λ)=(-1)^n(λ-λ1)・・・・(λ-λn)
=(-1)^n(λ-λ1)^(α1)・・・・(λ-λk)^(αk) Σαk=n (k=1からkまで)
=(-1)^n[λ^n-(α1λ1＋・・・＋αkλk)＋・・＋(-1)^nλ1^(α1)・・・・・
λk^(αk)]

帰納法で　　n-1次のA~で成立 →n次のAで成立？
　　　　　　　　Σαkλk=tkA

　　　　　　ここから先が分からないです


ここまで考えたんですが、ちょっと先が・・

あとのもわからないです

補足日時：2006/12/26 11:29