固有値の最大値

下記の固有値の最大値に関する問題がわかりません。

Σ^(n)i=1 xi^2=1とする。このとき、実2次形式G(x)=Σ^(n)i,j=1 sij*xi*xj(ただし、sij=sji)の最大値はS=(sij)の固有値のうちの最大値と一致することを証明せよ。（i,jは全て下付き文字です）
なにをどう進めて証明するのか見当もつきません。
式がみづらくて申し訳ありませんが、どなたか助けて下さい。

No.3 回答者： grothendieck 回答日時： 2010/04/09 04:00

線形代数の教科書のどれにでも書いてあることですが、

「対称行列Sの規格化された固有ベクトルを並べて作られる直交行列をO、その転置行列をO'とするとO'SOは対角化され対角成分は固有値になります。」
xiを成分とする規格化されたベクトルをx、
　y = O'x
とおくとyも規格化されたベクトルであり、　
　G(x)=Σ sij*xi*xj = x'Sx = x'OO'SOO'x = y'O'SOy
= Σαi yi^2

No.2 回答者： grothendieck 回答日時： 2010/04/06 22:24

「対称行列は直交変換で対角化できる。

このとき対角線上には固有値が来る。」ということは有名なので使って良いでしょう。すなわちsijの固有値をαiとすると
　G(x)= Σ^(n)i=1 αi xi^2 ,　(Σ^(n)i=1 xi^2=1)
となります。最大の固有値をα1 とするとG(X)が最大になるのはx1=1, xj=0(j≠1)のときであることは明らかでしょう。

この回答への補足

回答有難うございます。
G(x)=Σ^(n)i,j=1 sij*xi*xjから
G(x)= Σ^(n)i=1 αi xi^2 の変換はどういう過程で変換されたのでしょうか。
教えていただけないでしょうか。

補足日時：2010/04/07 23:00

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/04/05 23:35

S は対称なんだから, 対称行列の固有値・固有ベクトルに関する性質をひたすら挙げていけばそのうち「使えそうなもの」が見付かる...

んじゃないかなぁ.