真偽の判定方法

次のような問題があります。

(1)彼は以前と同じ程度に忙しい。
True or False (2)彼は以前より忙しくはない。

この問題の答はTrueでしょうか、Falseでしょうか。

実は、英語のカテでこの問題が提示され、次の(a)、(b)の2つの意見があって混乱しています。
(a)「以前と同じ程度に忙しい」（＝(1)）のなら明らかに「以前より忙しくなってはいない」ことになる。「以前より忙しくなってはいない」は(2)と同じである。だから、(1)と(2)は同じである。だから、Trueである。
(b)「以前より忙しくはない」（＝(2)）は、「以前と同じ程度に忙しい」（＝(1)）と「以前より暇だ」の両方を含む。つまり、(2)は(1)以外の物も含む。だから、(1)と(2)は異なる。だから、Falseだ。

英語の専門家は数学の「真偽」の問になれていないため混乱しています。素人にも分かるように「真偽」の判定方法の原理なども含めてやさしく解説いただけると幸いです。
なお、参考までに英文の問題は下記のとおりです。
"He is still working at the company as busily as before."
True or False: He is not busier than before.

No.1 ベストアンサー 回答者： N64 回答日時： 2007/01/17 20:32

同じではないでしょう、(3)として、以前より暇ではない、を加えて、

(1)　は、「(2) and (3)」と同じになるのではないでしょうか。

この回答への補足

御返事が遅くなって申し訳ありません。

>同じではないでしょう、(3)として、以前より暇ではない、を加えて、
(1)　は、「(2) and (3)」と同じになるのではないでしょうか。

ということは、この問題は(1)と(2)が同値であるかどうかを問う問題であり、解答はFalseである、ということでしょうか。

補足日時：2007/01/19 10:08

No.2 回答者： lick6 回答日時： 2007/01/17 20:50

国語の問題だと思うのですが・・・。

同じ程度の「程度」がどう解釈されるかによって変わってくると思います。
個人的には
同じ程度＝誤差が少ない＝±わずか
ということで多くも少なくも取れる気がします。
あとは as ～ as の意味の取り方でしょうか？

この回答への補足

>国語の問題だと思うのですが・・・。

(1) の日本語が不適切でした。(1)を次の(1')ように訂正させていただきます。
(1') 彼は以前と同じに忙しい。（彼の忙しさは以前と完全に同一である。）

このような意味だとすると、正解はTrueでしょうかFalseでしょうか。

補足日時：2007/01/17 21:07

No.3 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/01/17 21:13

>"He is still working at the company as busily as before."

>True or False: He is not busier than before.

「日常言語」のあいまいさを強引に切り捨て、残業時間の長短だけで"busy"か否かを判断しましょう。
上の文は「以前に記録した残業時間に達しているのに、まだ進行形である」と読めます。
ならば、下の文は"False"なのでは？

この回答への補足

>「日常言語」のあいまいさを強引に切り捨て、残業時間の長短だけで"busy"か否かを判断しましょう。

そのようにお考えいただくとたいへん有り難いです。

>上の文は「以前に記録した残業時間に達しているのに、まだ進行形である」と読めます。

そのとおりの意味です。
以上2点は、何のためらいもなくその通りなのです。
しかし、次が分かりません。

>ならば、下の文は"False"なのでは？

ここが分からないのです。ならばなぜFalseなのか、素人に分かりやすく御説明いただけないでしょうか。
なお、「ならばTrueである」とする論理は、初回の質問の(a)に記してあります。

補足日時：2007/01/17 21:27

No.4 回答者： kakkysan 回答日時： 2007/01/17 21:15

これは数学のカテゴリーで質問される「論理の問題」ではありません

「忙しい」という非常に主観的な事柄、「以前」「同じ程度」という曖昧な含む文、これらの物は「論理」では扱い切れません。

真偽の判定が出来なくて当たり前です。

これを問題として提示した人は、数学の「論理」を知らない人です。

この回答への補足

>これは数学のカテゴリーで質問される「論理の問題」ではありません
「忙しい」という非常に主観的な事柄、「以前」「同じ程度」という曖昧な含む文、これらの物は「論理」では扱い切れません。真偽の判定が出来なくて当たり前です。

ごもっともな御指摘と存じます。曖昧な言語表現の世界に数学の論理を持ち込んで、もつれにもつれている感があります。

ただ、御指摘の問題のうち最大の問題は私の訳の不適切さにあったと思いますので、(1)の文を次の(1')のように訂正させていただきます。
(1') 彼は以前と同じに忙しい。（彼の忙しさは以前と完全に同一である。）

このような意味であると割り切っていただくと、答はTrue でしょうかFalseでしょうか。

補足日時：2007/01/17 21:28

No.5 回答者： lick6 回答日時： 2007/01/17 21:30

忙しさが以前と全く等しいということであれば

以前より忙しくない。
というのは　False になるともいます。
忙しさの大小を比べるとして
以前　=　今
で　今　<　以前　？
と問われたら当然Ｆですよね。

この回答への補足

>以前より忙しくない。

「以前より忙しくない」ではなく「以前より忙しくはない」なのです。つまり、「以前と完全に同じまたは以前より暇」なのです。

このような場合、答はTrueでしょうかFalseでしょうか。

補足日時：2007/01/17 21:39

No.6 回答者： leap_day 回答日時： 2007/01/17 21:33

論理的な答え（？）はとりあえず出たみたいですよ

http://okwave.jp/qa2672196.html

この回答への補足

御回答有り難うございます。
もし数学の御専門のお立場からの御意見を頂戴できるとたいへん有り難く存じます。
よろしくお願いいたします。

補足日時：2007/01/19 10:12

No.7 回答者： kakkysan 回答日時： 2007/01/17 21:41

NO4です

NO2の方への回答への補足として考えます
(1') 。（彼の忙しさは以前と完全に同一である。）
忙しさを「量」で計るとして
以前の忙しさをA,現在の忙しさをBとします
命題P:彼は以前と同じに忙しい　　は　P:A=B　と表現できますね
命題Q:彼は以前より忙しくはない　は　Q:A>B　と表現できますね

問題は　P　True or False　Q　…(*)
と書き直しても良いのでしょうか？

英語が苦手なので教えていただきたいのですが、上記の”True or False”は「同値」と訳せばよいのでしょうか？
だとしたら、明らかに「同値ではない」ですよね。

訳が文字通り「真か偽」なら　(*)　は論理の形を取っていなくて、わけが分かりません。意味不明です。

この回答への補足

>命題Q:彼は以前より忙しくはない　は　Q:A>B　と表現できますね

「忙しくはない」なので、Q:A>=Bだと、つまり「大なりイコール」だとお考えいただけないでしょうか。

>問題は　P　True or False　Q　…(*)
と書き直しても良いのでしょうか？

すみません。数学が分からないので「P　True or False　Q」の意味が分かりません。

>上記の”True or False”は「同値」と訳せばよいのでしょうか？

申し訳ないのですが、「同値」と訳してよいのかどうかが分からないのです。お怒りはごもっともなのですが、純粋に英語の立場から見るとこの問題文（True or Falseの3語）は非常に曖昧で、「同値かどうかを判断せよ」という意味にも取れますし、「(1)は(2)の十分条件か」という意味にもとれます。数学の御専門の立場から見るとこのような「True or Falseの3語だけ」の設問は、通常はこんな意味だよという常識のようなものがあるのかと思いお尋ねしました。
いずれにせよ問題が不十分な形式で出題されたことは確かなように思われます。

しかし、今は、問題の適否ではなく答の出し方が分からない点に議論は集中していますので、(1)仮に同値であるかどうかを尋ねている問題であるとしたら答はTrueかFalseか、(2)仮に、(1)は(2)の十分条件かどうかを尋ねているとしたら答はTrueかFalseか、についてお教えいただけないでしょうか。

補足日時：2007/01/17 21:49

No.8 回答者： y_akkie 回答日時： 2007/01/17 21:41

(1)と(2)が同じ内容であれば、「(1)ならば(2)」、「(2)ならば(1)」

が同時に言えればよいわけです。これを数学的にいえば同値の関係
であると言います。

まず、(1)と(2)が同値であるかを判定するためには、

「(1)ならば(2)」が言えるかについて考えてみると、

「彼は以前と同じ程度に忙しいのであれば、彼は以前より忙しく
なっていない」ので、これは真であると言えると思います。

しかし、「(2)ならば(1)」の場合はどうでしょうか？

「彼は以前よりも忙しくなっていないのであれば、彼は以前と
同じ程度に忙しい」を考えてみると、この場合は、「彼は以前より
も忙しくない」ケースも存在するので偽になります。

よって、(1),(2)は同値ではなく、「(1)ならば(2)」としかいえません。
これを「(2)は(1)であるための必要条件」と言います。
(2)の事柄が言えるからといって決して(1)であるとは言えません。
数学的に考えて、(1)と(2)とは同値ではありません。

ここでは、(1)"He is still working at the company as busily as before."という問いに対して、結果として(2)He is not busier than before.の事柄が言えるか問われていると解釈すれば、「(1)ならば(2)」が
言えるので、(1)が正しければ(2)が正しいわけだから、(2)はTrueになるのではないでしょうか...。

この回答への補足

たいへん分かりやすい説明を頂き有り難うございます。

>よって、(1),(2)は同値ではなく、「(1)ならば(2)」としかいえません。

つまり、問の意味が「(1)と(2)は同値か」という意味であると仮定すると答はFalseである、ということでしょうか。

>ここでは、(1)"He is still working at the company as busily as before."という問いに対して、結果として(2)He is not busier than before.の事柄が言えるか問われていると解釈すれば、「(1)ならば(2)」が言えるので、(1)が正しければ(2)が正しいわけだから、(2)はTrueになるのではないでしょうか...。

つまり、問の意味が「(1)ならば(2)が言えるか」という意味であると仮定すると答はTrueである、ということでしょうか。

そして、原文の「True or False」は「(1)と(2)は同値か」と「(1)ならば(2)が言えるか」の両方に解釈が可能だということでしょうか。

補足日時：2007/01/17 22:06

No.9 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/01/17 22:31

#3 でーす。

>なぜFalseなのか...

英語力のテストですね。
　He is not busier than before.
は「以前よりも忙しい」を否定する文だと読みました。
そう読んでしまうと、はじめの文を「以前よりも忙しい」と読んだからには、"False"と答えざるを得ません。

ほかにも読みかたがあるのでしょうか？

この回答への補足

>"False"と答えざるを得ません。

つまり、次のように考えられるということでしょうか。
(a)この問題は(1)と(2)が同値であるかどうかを問う問題である。
(b)(1)は、以前と同じに忙しい、ということである。
(c)(2)は、以前と同じに忙しいまたは以前より暇、ということである。
(d)したがって、(1)と(2)は同値ではない。
(e)したがって、Falseである。

補足日時：2007/01/17 22:53

No.10 回答者： y_akkie 回答日時： 2007/01/17 22:53

#8です。

お礼の箇所で以下のような質問が出ましたので、個人的な
見解ついて述べさせて頂きます。あくまでも、個人的な見解という事
で…。

>つまり、問の意味が「(1)ならば(2)が言えるか」という意味であると
>仮定すると答はTrueである、ということでしょうか。

>そして、原文の「True or False」は「(1)と(2)は同値か」と
「(1)ならば(2)が言えるか」の両方に解釈が可能だということ
でしょうか。

まず、問題を作成する側では、英文がちゃんと読めているか、
どうかをチェックするための問いを出題しようという意図があると
考えられます。よって、英文に書かれている内容から判断して
問題文にかかれている内容が正しいかどうかを判断してもらう
といった意向があるわけだと思います。
ようするに(1)という英文があれば、(2)という問題文に対して
(1)がちゃんと読めているかどうかを確認したいわけです。
よって、(1)の内容を踏まえた上で、(2)が成立するかどうかと
いった問題を出すわけです。
すなわち、「（１）ならば（２）」という判定をしてもらうといった
視点でこのような問題を作成していると考えられます。

一方、解答者の方は言えば、まず先に問題文である(2)の方を先に見よう
とします。そして、作成者とは逆向きの視点で判断して問題を解こうと
するのではないでしょうか。

よって、(2)の真偽を判定するために、そのキーポイントとなる(1)を
探すわけです。そうすると、「(2)が成立すれば(1)が成立する」と
いう考えから、「(2)ならば(1)」という方向で判定してしまいがちだと
思います。また、(1)と(2)は同じ意味でなければならないという事も
考えてしまうケースも多いかと思います。

しかし、これらは問題を作成する側から見れば、問題作成をするに
あたって英文に書かれている内容をベースに出題するわけですから、
「(1)ならば(2)」の視点で作成していると考えた方が良いのではない
でしょうか…。

これらの持論を踏まえ、質問対する答えとして、「(1)と(2)は同値、
すなわち同じ意味である」という事を判定しようといった意図では
ないのではないでしょうか。先ほども述べたとおり、問題文を

読んだ上で(2)の事柄が正しいかどうかを判定するといった意図で
あると自分は考えています。そうすると、(1)という問題文を正しく
読めてこそ、(2)の真偽が判定できると、問題作成者側はそうお考え
になっているのではないでしょうか。よって、「(1)ならば(2)」が
成立するかどうかをまず考え、(1)は当然問題文にかかれている内容
なので真であるのは当然であるので、「(1)ならば(2)」が成立する
ので、すなわち(2)は真であると判定すべきではないでしょうか？

この回答への補足

「True or False」の意味と論理構造ばかりに気を取られていましたが、試験問題である以上出題者の意図を適切に推測することは解答者の仕事であるわけで、そういう意味では御指摘のとおりと思います。御指摘の点に出題者の意図があると判断して解答をすべきと思います。それが受験ということであり、それを忘れては合格は望むべくもないと思います。貴重かつ御懇切な回答を有り難うございました。

ただ、今回は受験という立場を少し離れ、（そのようなことが意味のないこととの御指摘は覚悟の上でということなのですが）純粋に解答として正しいかどうかという点から見てみたいと思っております。このような点から見ると、前回#8で質問させていただいた次の2点への御回答は、いずれも yes でしょうか。

問の意味が「(1)と(2)は同値か」という意味であると仮定すると答はFalseである、ということでしょうか。

問の意味が「(1)ならば(2)が言えるか」という意味であると仮定すると答はTrueである、ということでしょうか。

補足日時：2007/01/17 23:18