A 回答 (4件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.4
- 回答日時:
stomachmanです。
ごめんなさい。問題を良く読み直したら、さっきの回答はどうも違うことをやってたのに気が付きました。
半径rの2本の円柱がまともにクロスするんじゃなくて、半分だけかみ合う、という話だったんだ。
訂正です。
結果:この場合は「失われた表面積」を計算すればよい。クロスしたところでそれぞれの円柱から失われた表面積は、
S = 4(r^2) integral {θ=0~π/2} (2sinθ-(sinθ)^2)^(1/2) dθ
= 4(r^2) integral {x=0~1} ((2-x)(1-x^2)x)^(1/2) dx
になる。(こんな積分、解析で解けなくったって、Excelで数値計算しちゃえばどってことないです。rに関係ない定数ですし。)
結局、まず交差を無視して沢山の円筒の表面積を求めておいて、あと、交差1カ所につき2Sだけ引き算してやればよい、ということになります。
その導出。
一方の円筒の中心線の方から見た図を描きます。先ず半径rの円Cを描く。この円Cの中心Oが円筒の中心線。この円筒の上にもう一方が乗っかっている。乗っかっているやつの軸は、したがって円Cの接線Lですね。これを水平に描きましょう。この接線Lと平行に、円Cの直径Dを描きます。そして、円上の点pをLとDに挟まれた所に描き、その位置を、円Cの中心角θで表す。円Cの直径上Dにpがある場合をθ=0としましょう。(接線上に来るとθ=π/2です。)このとき、pから接線Lまでの距離は、r(1-sinθ)です。
さて、こんどはもう一つ円C'を描く。これは乗っかっている方の円筒を軸の方から見た図です。水平に直径D'を描きます。いま、点pはこの円周C'上にあり、直径D'からの距離がr(1-sinθ)って訳です。そこで、pを通り直径D'に平行に線を描く。この線が円と交差する2点はpともうひとつあり、これをqとします。p~qの長さは、ピタゴラスの定理で2r√(1-(1-sinθ)^2) です。
というわけで、rdθ×2r√(1-(1-sinθ)^2)をθ=0~πまで積分すれば良い。
S = 2(r^2) integral {θ=0~π} (2sinθ-(sinθ)^2)^(1/2) dθ
対称性を利用して
S = 4(r^2) integral {θ=0~π/2} (2sinθ-(sinθ)^2)^(1/2) dθ
となります。
数式はご自分でもチェックしてみてくださいね。(stomachmanは計算間違いの常習者なんですよ、とほほ。)
この回答へのお礼
お礼日時:2001/01/15 05:44
stomachmanさん、たいへん丁寧な回答をありがとうございます。恐縮です。
文章だけなのに説明がとても丁寧だったので作図もとてもしやすかったです。
No.3
- 回答日時:
図がかけないので非常に厳しいんですが...
中心線が1点cで直交する、同じ半径rを持つ2本の円柱において、2本の中心線上で交点cからrの距離にある点(4つあります)において、それぞれの中心線に垂直にこの立体図形を切り取ります。このとき4個の円で囲まれたへんてこな立体Vが残るはず。
このへんてこな立体Vの側面(つまり切り取ったときに出来た4つの円Cの面積を除く表面積)を計算します。これで良いでしょうか?
これは対称な曲面三角形16個から出来ており、すなわち、二つの円Cが接する点から、円筒の中心線を中心に90度回るまでの表面部分がその図形で、(二つの中心線に直交する方向から見ると直角三角形になります。)その面積は
S = integral{θ=0~π/2} (r^2) (1-cosθ) dθ (θ=0~π/2までの積分という意味)
より、
S = (r^2) (π/2-1)
です。従って、問題のへんてこな立体Vの側面の面積は16Sになります。
●老婆心ながら、ミクロな構造における表面積というのは、しばしば、幾何学図形のそれよりも遙かに大きくなります。わずかなでこぼこや傷があっても表面積は容易に数倍になるからです。従って、幾何学図形の表面積は、むしろ表面積の理論的最小値と考えるべきものです。
No.1
- 回答日時:
2つの円筒をA,Bとする。
A: x^2+y^2=r^2
B: x^2+(z-r)^2=r^2
A,Bの交わる曲面はしたがって、
y=z-r, y=-z+rとなる
これと、Aの交線は短軸で互いに直交する楕円(長軸2√2 r, 短軸2r)
となる。
したがって、もとめる面積は(√2)πr^2である。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 ベクトル解析 ガウスの定理 問題 (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)、(0,0,0)を頂 7 2023/07/18 21:43
- 統計学 Rを用いた「繰り返しがある直交表実験計画法」の分析方法 8 2023/08/01 17:58
- 数学 微分積分の円錐の体積についての問題がわからないです。 2 2022/07/16 16:26
- 物理学 微分方程式の物理現象への適用について 3 2023/05/14 12:22
- 数学 半径6の円Kを底面とする半球がある。半球の底面に平行な平面が半球と交わっており、交わりの円Lの半径は 6 2022/06/24 06:34
- 物理学 写真の問題についてですが、なぜ円柱の表面積を考える時、側面の表面積だけで底面の円の面積は考えないので 4 2023/02/18 12:59
- 数学 3次元実ベクトル空間において, 平面 P:x-y+z+1=0 と直線 L:2(x-1)=-y=-z 3 2022/10/29 14:39
- 物理学 写真の問題についてですが、わからないことが2つあります。 ①赤線部に「電気力線は直線Lに垂直になる」 2 2023/06/21 17:50
- 化学 高校化学 浸透圧の範囲で質問があります。「浸透圧が同じなら移動する水の量は同じ」ですか? 「京大化学 4 2022/06/19 14:11
- 病院・検査 宮城県・山形県・福島県で6時間透析を行っている場所を教えてくれませんか? 2 2022/04/04 22:20
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
螺旋の周長の求め方
-
Rの計算式を教えてください。
-
弦の長さを求める公式は?
-
ランプシェードの展開図を教え...
-
製図上の”R”について
-
楕円の先端半径について教えて...
-
「カッシーニの軌道計算」は東...
-
二点間を通り半径Rの中心点を求...
-
計算式を教えてください
-
3配位の限界半径比の求め方
-
螺線(らせん)の長さ(ピッチ...
-
円の方程式でX2乗+Y2乗=...
-
丸パイプ同士の接合断面を展開...
-
太陽から見た地球の立体角
-
楕円の半径の求め方
-
球の表面積から半径を求める方...
-
位置度 計算式
-
【算数(数学)】中心角と弧の...
-
円弧から直径を知りたいのですが…
-
2円の共通点をもたない範囲
おすすめ情報